題目列表(包括答案和解析)
如圖,已知直線(
)與拋物線
:
和圓
:
都相切,
是
的焦點.
(Ⅰ)求與
的值;
(Ⅱ)設是
上的一動點,以
為切點作拋物線
的切線
,直線
交
軸于點
,以
、
為鄰邊作平行四邊形
,證明:點
在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為
, 直線
與
軸交點為
,連接
交拋物線
于
、
兩點,求△
的面積
的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓:
的圓心為
,半徑
.由題設圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去)
設與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設,由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
第三問中,設直線,代入
得
結合韋達定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓:
的圓心為
,半徑
.由題設圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去). …………………(2分)
設與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
.
……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設,由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
上.…(2分)
(Ⅲ)設直線,代入
得
, ……)得
,
…………………………… (2分)
,
.
△
的面積
范圍是
等軸雙曲線的中心在原點,焦點在
軸上,
與拋物線
的準線交于
兩點,
;則
的實軸長為( )
【解析】設等軸雙曲線方程為,拋物線的準線為
,由
,則
,把坐標
代入雙曲線方程得
,所以雙曲線方程為
,即
,所以
,所以實軸長
,選C.
已知點為圓
上的動點,且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點
的軌跡為曲線
,過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點
,使得
總能被
軸平分
【解析】第一問中設為曲線
上的任意一點,則點
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
第二問中,設點的坐標為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
∵,∴
確定結論直線與曲線
總有兩個公共點.
然后設點,
的坐標分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
得到。
(1)設為曲線
上的任意一點,則點
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
. ………………2分
(2)設點的坐標為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直線與曲線
總有兩個公共點.(也可根據點M在橢圓
的內部得到此結論)
………………6分
設點,
的坐標分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
當時,(*)對任意的s都成立,從而
總能被
軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得
總能被
軸平分
已知函數f(x)=sin(ωx+φ)
(0<φ<π,ω>0)過點
,函數y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) f(x)的圖象向右平移個單位后,得到函數y=g(x)的圖象,求函數g(x)的單調遞減區間.
【解析】本試題主要考查了三角函數的圖像和性質的運用,第一問中利用函數y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.得
,
所以
第二問中,,
可以得到單調區間。
解:(Ⅰ)由題意得,
,…………………1分
代入點
,得
…………1分
,
∴
(Ⅱ),
的單調遞減區間為
,
.
方程|x|-|y|=1的曲線是( )
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