如圖，三棱柱中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中點。

(Ｉ) 證明：平面⊥平面

（Ⅱ）平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質及幾何體的體積計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡單題.

【解析】（Ⅰ）由題設知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,    又∵面，∴,

由題設知,∴=,即,

又∵,   ∴⊥面,    ∵面，

∴面⊥面；

（Ⅱ）設棱錐的體積為，=1，由題意得，==，

由三棱柱的體積=1，

∴=1:1，  ∴平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1

 

解：（Ⅰ）設：，其半焦距為．則：．

　　　由條件知，得．

　　　的右準線方程為，即．

　　　的準線方程為．

　　　由條件知，　所以，故，．

　　　從而：，   ：．

（Ⅱ）由題設知：，設，，，．

　　　由，得，所以．

　　　而，由條件，得．

　　　由（Ⅰ）得，．從而，：，即．

　　　由，得．所以，．

　　　故．

已知，設和是方程的兩個根，不等式對任意實數恒成立；函數有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數零點的運用。由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3. 當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實數m的取值范圍是(4,8]

 

如圖，已知直線（）與拋物線：和圓：都相切，是的焦點．

（Ⅰ）求與的值；

（Ⅱ）設是上的一動點，以為切點作拋物線的切線，直線交軸于點，以、為鄰邊作平行四邊形，證明：點在一條定直線上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點所在的定直線為，    直線與軸交點為，連接交拋物線于、兩點，求△的面積的取值范圍．

【解析】第一問中利用圓： 的圓心為，半徑．由題設圓心到直線的距離．  

即，解得（舍去）

設與拋物線的相切點為，又，得，．     

代入直線方程得：，∴    所以，

第二問中，由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點．   ………………（2分）

設，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為．   

令，得切線交軸的點坐標為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形

∴ 因為是定點，所以點在定直線

第三問中，設直線，代入得結合韋達定理得到。

解：（Ⅰ）由已知，圓： 的圓心為，半徑．由題設圓心到直線的距離．  

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

設與拋物線的相切點為，又，得，．     

代入直線方程得：，∴    所以，．      ……（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點．   ………………（2分）

設，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為．   

令，得切線交軸的點坐標為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，

∴ 因為是定點，所以點在定直線上．…（2分）

（Ⅲ）設直線，代入得，  ……）得，                 ……………………………     （2分）

，

．△的面積范圍是

 

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|＝3米，|AD|＝2米，

（I）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？

（II）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最��？并求出最小面積．

（Ⅲ）若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最��？并求出最小面積．

【解析】本題主要考查函數的應用，導數及均值不等式的應用等，考查學生分析問題和解決問題的能力   第一問要利用相似比得到結論。

（I）由S_AMPN > 32 得 > 32 ，

∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴2<X<8/3，即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8，+)

第二問，  

當且僅當

(3)令

∴當x > 4，y′> 0，即函數y＝在（4，＋∞）上單調遞增，∴函數y＝在[6，＋∞]上也單調遞增．                

∴當x＝6時y＝取得最小值，即S_AMPN取得最小值27（平方米）．