已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切。

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）設C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R、S在C₂上，且 滿足，求的取值范圍。

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（I）求橢圓的方程；

（II）若過點（2，0）的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當＜ 時，求實數的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中，利用

第二問中，利用直線與橢圓聯系，可知得到一元二次方程中，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。

解：（1）由題意知

已知橢圓的離心率為以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸交于定點Q；

 （III）在（II）條件下，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求的取值范圍。

已知橢圓的離心率為以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸交于定點Q；

 （III）在（II）條件下，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求的取值范圍。

    已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點。

    （1）求橢圓C的方程；

    （2）求的取值范圍；

    （3）若B點在于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點。