【題目】函數f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常數a∈R．
（Ⅰ）討論g（x）的單調性；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），求證：在區間（1，＋∞）上存在f（x）的極值點x0 ， 使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．
【答案】解：（Ⅰ）解：函數g（x）的定義域為（0，＋∞），導函數為 
．
①當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數；
②當a＞0時， 
，并且，
在區間（0， 
）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函數；
在區間（ ，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在區間（ ，＋∞）上是減函數．
（Ⅱ）證明：當a＞0時，在區間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），
f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在區間（0， ）上是增函數，在區間（ ，＋∞）上是減函數．
①若 
，則 
，在區間（1，＋∞）上，f′（x）是減函數，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上單調遞減，不可能有兩個零點，所以必然有 
．
②當 時，在區間（1， ）上，f′（x）是增函數，f′（x）＞f′（1）＝0；
在區間（ ，＋∞）上，f′（x）是減函數．依題意，必存在實數x0，使得在區間（ ，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數；在區間（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數．此時x0＞1，且x0是f（x）的極大值點．
所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即 
消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．
設F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1）， 
．
∵ 
，∴x＞1時，F′（x）單調遞增．又F′（1）＝0，
∴x＞1時，F′（x）＞0．∴x＞1時，F（x）單調遞增．
又F（1）＝－2＜0，F（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1滿足題意．
亦可直接觀察得到，x0＝e2時，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，滿足題意．
【解析】（Ⅰ）先求得函數g（x）的導函數，對a進行分類討論并分別判斷函數g′（x）值大于零與小于零的區間，從而得到函數g（x）的單調區間;（Ⅱ）先函數f（x）零點存在的區間，再利用零點的存在區間確定a的取值范圍，再結合零點的存在性得到滿足題意的x0，對設出的F（x）求得最大值為0的情況，從而求出x0的具體值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數
的極值的方法是:（1）如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極大值（2）如果在附近的左側
,右側
,那么
是極小值．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在2017年初的時候，國家政府工作報告明確提出，2017年要堅決打好藍天保衛戰，加快解決燃煤污染問題，全面實施散煤綜合治理.實施煤改電工程后，某縣城的近六個月的月用煤量逐漸減少，6月至11月的用煤量如下表所示：
（1）由于某些原因， 
中一個數據丟失，但根據6至9月份的數據得出少樣本平均值是3.5，求出丟失的數據；
（2）請根據6至9月份的數據，求出
關于
的線性回歸方程
；
（3）現在用（2）中得到的線性回歸方程中得到的估計數據與10月11月的實際數據的誤差來判斷該地區的改造項目是否達到預期，若誤差均不超過0.3，則認為該地區的改造已經達到預期，否則認為改造未達預期，請判斷該地區的煤改電項目是否達預期？（參考公式：線性回歸方程
，其中
）
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【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為x，求x的分布列和數學期望.
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【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°，AC=2a，E，F分別為AC，BC的中點，沿EF將△CEF折起，得到如圖2所示的四棱錐C′﹣ABFE
（1）求證：AB⊥平面AEC′；
（2）當四棱錐C′﹣ABFE體積取最大值時，
①若G為BC′中點，求異面直線GF與AC′所成角；
②在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．
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【題目】已知函數f（x）=2 
sin（ 
ωx）cos（ ωx）+2cos2（ ωx）（ω＞0），且函數f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在區間 
上的最大值和最小值．
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【題目】隨著社會的發展，食品安全問題漸漸成為社會關注的熱點，為了提高學生的食品安全意識，某學校組織全校學生參加食品安全知識競賽，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數據的分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若該校的學生總人數為3000，則成績不超過60分的學生人數大約為 ． 
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC三個頂點坐標為A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．
(1)求BC邊上的中線所在直線的方程；
(2)求BC邊上的高所在直線的方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】試題分析：（1）根據中點坐標公式求出
中點
的坐標，根據斜率公式可求得
的斜率，利用點斜式可求
邊上的中線所在直線的方程；（2）先根據斜率公式求出
的斜率，從而求出
邊上的高所在直線的斜率為
，利用點斜式可求
邊上的高所在直線的方程.
試題解析：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中點D的坐標為（6，0），
所以AD的斜率為k＝
＝8，
所以BC邊上的中線AD所在直線的方程為y－0＝8(x－6)，
即8x－y－48＝0．
（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直線的斜率為k＝＝1，
所以BC邊上的高所在直線的斜率為－1，
所以BC邊上的高所在直線的方程為y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．
【題型】解答題
【結束】
17
【題目】已知直線l：x－2y＋2m－2＝0．
(1)求過點(2，3)且與直線l垂直的直線的方程；
(2)若直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積大于4，求實數m的取值范圍．
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