6．使得是增函數的區間為 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設函數的定義域為D，若存在非零實數h使得對于任意，有，且，則稱為M上的“h階高調函數”。給出如下結論：

①若函數在R上單調遞增，則存在非零實數h使為R上的“h階高調函數”；

②若函數為R上的“h階高調函數”，則在R上單調遞增；

③若函數為區間上的“h階高誣蔑財函數”，則

④若函數在R上的奇函數，且時，只能是R上的“4階高調函數”。

    其中正確結論的序號為        （    ）

    A．①③             B．①④           C．②③             D．②④

 

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設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數h使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），則稱f（x）為M上的“h階高調函數”．給出如下結論：
①若函數f（x）在R上單調遞增，則存在非零實數h使f（x）為R上的“h階高調函數”；
②若函數f（x）為R上的“h階高調函數”，則f（x）在R上單調遞增；
③若函數f（x）=x2為區間[-1，+∞）上的“h階高誣蔑財函數”，則h≥2；
④若函數f（x）在R上的奇函數，且x≥0時，f（x）=|x-1|-1，則f（x）只能是R上的“4階高調函數”．
其中正確結論的序號為（　　）

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已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區間上的最大值為2；

當時，即時，在區間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

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已知函數在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減。

（1）求的值；

（2）若斜率為24的直線是曲線的切線，求此直線方程；

（3）是否存在實數b，使得函數的圖象與函數的圖象恰有2個不同交點？若存在，求出實數b的值；若不存在，試說明理由.

 

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已知函數在區間上為增函數，且。

（1）當時，求的值；

（2）當最小時，

①求的值；

②若是圖象上的兩點，且存在實數使得

，證明：。

 

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一、選擇題.(單項選擇,5×12=60分.答案涂在答題卡上的相應位置.)

1.C  2. A  3. B  4. B  5. B  6. B  7. A  8. C  9.D  10. B  11.D  12. B

二、填空題.( 5×4=20分,答案寫在答題紙的相應空格內.)

dyr232

三、解答題.（12×5+10=70分,答案寫在答題紙的答題區內.）

17．（Ⅰ）∵ m?n                                                     ……… 2分

∴，解得                                              ……… 6分

（Ⅱ）           ……… 8分

∵，∴                                          ………10分

∴的值域為[]                                                       ………12分

 

18．（Ⅰ）把一根長度為8的鐵絲截成3段，且三段的長度均為整數，共有21種解法．

(可視為8個相同的小球放入3個不同盒子，有種方法)   …   3分

其中能構成三角形的情況有3種情況：“2，3，3”、“3，2，3”、“3，3，2”．

則所求的概率是                                                         ……… 6分

（Ⅱ）根據題意知隨機變量                                               ……… 8分

∴              ……12分

19．（Ⅰ）∵點A、D分別是、的中點，∴. …… 2分

∴∠=90º.∴.∴ ,                                                   

∵,∴⊥平面.                       ……… 4分

∵平面,∴.                                                ……… 5分

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,  …6分

設平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                                                     ……… 8分

令，得，∴=（1，1，－1）

顯然，是平面的一個法向量，=（）．       ………10分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                    ………12分

 

20．（Ⅰ）                                                                       ……… 4分

（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等………            5分

⑴當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為，

．                                                       ……… 6分

⑵當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，

．                                                       ……… 7分

⑶當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，、

P在橢圓上，.......①；R在橢圓上，....

②利用Rt△POR可得　           ……… 9分

即　

整理得　．                                               ………11分

再將①②帶入，得

綜上當時，有．                ………12分

 

21．（Ⅰ）時，單調遞減，

當單調遞增。

①若無解；

②若

③若時，上單調遞增，

；

所以                                               ……… 4分

（Ⅱ）則

設則時，

單調遞減，單調遞增，

所以因為對一切

恒成立，所以；                                             ……… 8分

（Ⅲ）問題等價于證明，

由（Ⅰ）可知

當且僅當時取到，設

則，當且僅當時取到，

從而對一切成立．                ………12分

 

22．（Ⅰ）連接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線         … 5分

（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC       ∴  ∴BC2=BD•BE

∵tan∠CED=,∴∵△BCD∽△BEC, ∴

設BD=x,則BC=2      又BC2=BD•BE，∴(2x)2=x•(x+6)

解得x1=0,x2=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5    … 10分

 

23．（Ⅰ）                                                             …  5分

（Ⅱ）                                                                  … 10分

 

23．（Ⅰ），                                                                              …  5分

（Ⅱ）

                           … 10分

 

 


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