題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
設
為拋物線
上的兩個動點，過
分別作拋物線
的切線
，與
分別交于
兩點，且
，若
若，求點
的軌跡方程
（2）當所在直線滿足什么條件時，P的軌跡為一條直線？（請千萬不要證明你的結論）
（3）在滿足（1）的條件下，求證：
的面積為一個定值，并求出這個定值
（本小題滿分14分）已知
拋物線
（1）設
是C1的任意兩條互相垂直的切線，并設
，證明
：點M的縱坐標為定值；
（2）在C1上是否存在點P，使得C1在點P處切線與C2相交于兩點A、B，且AB的中垂線恰為C1的切線？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。
（本小題滿分14分）已知拋物線
，橢圓經過點
，它們在
軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若
是橢圓上的點，設
的坐標為
（
是已知正實數），求與之間的最短距離．
（本小題滿分14分）
已知拋物線
的頂點為坐標原點，焦點在
軸上. 且經過點
，
（1）求拋物線的方程；
（2）若動直線
過點
，交拋物線于
兩點，是否存在垂直于
軸的直線
被以
為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出
的方程；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）已知拋物線
的焦點
以及橢圓
的上、下焦點及左、右頂點均在圓
上.
(Ⅰ)求拋物線
和橢圓
的標準方程；
(Ⅱ)過點的直線交拋物線于
、
兩不同點,交
軸于點
，已知
為定值.
(Ⅲ)直線
交橢圓于
兩不同點，在
軸的射影分別為
，
，若點
滿足：
，證明：點在橢圓上.
一、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
CDAB CDAB ABBA
二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13、
14、
15、
16、
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17、解、由題
得
，則
0
2
0
遞增
極大值
遞減
當
時，
；當
時，
；當
時，
所以，當時，
；當時，
18、解、（1）設甲投球一次命中為事件A，
；設乙投球一次命中為事件B，
則甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的概率
答：甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的概率為
。
（2）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的對立面是這四次投球中無一次命中，
所以甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的的概率是
答：甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的的概率是
。
19、解、（1）
中，
（2）以
分別為
軸，如圖建立直角坐標系，設
則
所以
與平面
所成的角為
。
20、解：（1）∵
依題意得
∴
（2）設第r +1項含x3項，
則
∴第二項為含x3的項：T2=-2
=-18x3
21、解、（1）設
，若
得
，又
，所以
得
，而
，所以無解。即直線
與直線
不可能垂直。
（2）
所以
的范圍是
。
22、（Ⅰ）解：當
時，
，得
，且
，
．
所以，曲線
在點
處的切線方程是
，整理得
．。
（Ⅱ）解：
．
令
，解得
或
．
由于
，以下分兩種情況討論．
（1）若
，當變化時，
的正負如下表：
因此，函數
在處取得極小值
，且
；
函數在處取得極大值
，且
．
（2）若
，當變化時，的正負如下表：
因此，函數在處取得極小值，且
；
函數在處取得極大值，且
．
（Ⅲ）證明：由
，得
，當
時，
，
．
由（Ⅱ）知，在
上是減函數，要使
，
只要
即
�、�
設
，則函數
在
上的最大值為
．
要使①式恒成立，必須
，即
或
．
所以，在區間
上存在
，使得對任意的恒成立．
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