在
中，滿足
,
是
邊上的一點.
（Ⅰ）若
,求向量
與向量
夾角的正弦值；
（Ⅱ）若
，
=m (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求
值；
（Ⅲ）若
且
求
的最小值。
【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為
，則
令=
，得
，又
，則
為所求
第二問因為，=m所以
，
（1）當
時，則
=
（2）當
時，則
=
第三問中，解：設
,因為
，；
所以
即
于是
得
從而
運用三角函數求解。
（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則
令=，得，又，則為所求……………2分
(Ⅱ)解：因為，=m所以，
（1）當時，則
=；-2分
（2）當時，則=；--2分
（Ⅲ）解：設,因為，；
所以即于是得
從而---2分
=
=
=
…………………………………2分
令
，
則
，則函數
，在
遞減，在
上遞增，所以
從而當
時，
已知
，函數
（1）當
時，求函數
在點(1，
)的切線方程；
(2)求函數在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個實數x0，使
>g(xo)成立，求正實數
的取值范圍。
【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。（1）中
，那么當時，
又 
所以函數在點(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當時， 又
∴ 函數在點(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當
即時
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當
即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無極小值。
綜上所述 時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設，
對
求導，得
∵
， 
∴ 在區間
上為增函數，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實數的取值范圍是（
，
）
（
）方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但何時改變方向不定。假定機器人行走速度為10米/分鐘，則機器人行走2分鐘時的可能落點區域的面積是 。根據指令，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點O沿正東偏北
（
）方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但何時改變方向不定。假定機器人行走速度為10米/分鐘，則機器人行走2分鐘時的可能落點區域的面積是 。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
11．5 12．
13．
14．7 15．
三、解答題：本大題共6小題，共80分。
16．解：（I）由三角函數的定義可知
又
為正三角形，
（Ⅱ）
圓的面積為
。
該點落在
內的概率
17．解：（I）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為
，公差為的等差數列，設第
個月更新的車輛數為
，則
該市的出租車總數
（輛）
（Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公比為1.1的等比數列，則第
個月更新的車輛數
，設至少需要
個月才能更新完畢，
個月更新的車輛總數
，
即
，由參數數據可得
故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車
18．解（I）
，
為等腰直角三角形，
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則
設平面
的一個法向量為
，
則有
得
平面的一個法向量
而
的一個法向量
平面與平面所成的角的余弦值
（Ⅲ）
，
設平面
的法向量為
，則有
平面的一個法向量為
若要使得
面，則要
，即
解得
， 當時， 面
19．解法一：
（I）設橢圓方程為
，由題意知
故橢圓方程為
（Ⅱ）由（I）得
，所以
，設
的方程為
（
）
代入，得
設
則
由
，
當
時，有
成立。
（Ⅲ）在軸上存在定點
，使得
、
、
三點共線。
依題意知
，直線BC的方程為
，
令
，則
的方程為
、在直線上，
在軸上存在定點，使得、、三點共線。
解法二：（I）同解法一。
（Ⅱ）由（I）得，所以。
設的方程為
代入，得
設則
當時，有成立。
（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。
設存在
使得、、三點共線，則
，
，
即
，
。
所以，存在，使得、、三點共線。
20．解：（I）
當
時，
由
或
。
x
(0,1)
1
+
―
單調遞增
極大值
單調遞減
時，
，無極小值。
（Ⅱ）
存在單調遞減區間，
在
內有解，即
在內有解。
若
，則
，在單調遞增，不存在單調遞減區間；
若
，則函數
的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點（0，1），要
使在內有解，則應有
或
，由于，
；
若
，則函數
的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點（0，1），
在內一定有解。
綜上，或。
（Ⅲ）依題意：
，假設結論不成立，
則有
①―②，得
由③得，
即
設
，則
，
令
，
在（0，1）上為增函數。
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。如果對
，滿足
為整數，則稱k為“好數”，那么區間
內所有的“好數”的和S=（ ）
）
