題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）已知數列
的前
項和為
，且
，
；（1）求數列的通項公式
（2）設數列
滿足：
，且
，求證：
（3）若（2）問中數列 滿足 
，
求證：
（其中
為自然對數的底數）。
（本小題滿分12分）
為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：
|
|
喜愛打籃球 |
不喜愛打籃球 |
合計 |
|
男生 |
|
5 |
|
|
女生 |
10 |
|
[來源:學|科|網] |
|
合計 |
|
|
50[] |
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為
（1）請將上面的列聯表補充完整
（2）是否有99.5％的把握認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由；
（3）已知喜愛打籃球的10位女生中，
還喜歡打羽毛球，
還喜歡打乒乓球，
還喜歡踢足球，現在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、
喜歡踢足球的8位女生中各選出1名進行其他方面的調查，求
和
不全被選
中的概率．
下面的臨界值表供參考：
|
|
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
|
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
（本小題滿分12分）某校高一（2）班共有60名同學參加期末考試，現將其數學學科成績（均為整數）分成六個分數段
，畫出如下圖所示的部分頻率分布直方圖，請觀察圖形信息，回答下列問題：
（1）求70～80分數段的學生人數；
（2）估計這次考試中該學科的優分率（80分及以上為優分）
（3）現根據本次考試分數分成下列六段（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組）為提高本班數學整體成績，決定組與組之間進行幫扶學習．若選出的兩組分數之差大于30分（以分數段為依據，不以具體學生分數為依據），則稱這兩組為“最佳組合”，試求選出的兩組為“最佳組合”的概率．[來源:學#科#網]
（本小題滿分12分）
道路交通安全法中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛人員血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q<80時，為酒后駕車；當Q≥80時，為醉酒駕車. 某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了200輛機動車駕駛員的血酒含量，其中查處酒后駕車的有6人，查處醉酒駕車的有2人，依據上述材料回答下列問題：
（1）分別寫出違法駕車發生的頻率和醉酒駕車占違法駕車總數的百分數；
（2）從違法駕車的8人中抽取2人，求取到醉酒駕車人數的分布列和期望，并指出所求期望的實際意義；
（3）飲酒后違法駕駛機動車極易發生交通事故，假設酒后駕車和醉酒駕車發生交通事故的概率分別是0.1和0.25，且每位駕駛員是否發生交通事故是相互獨立的。依此計算被查處的8名駕駛員中至少有一人發生交通事故的概率。（精確到0.01）并針對你的計算結果對駕駛員發出一句話的倡議.
（本小題滿分12分）
2011年4月28日，世界園藝博覽會已在西安正式開園，正式開園前，主辦方安排了4次試運行，為了解前期準備情況和試運行中出現的問題，以做改進，組委會組織了一次座談會，共邀請20名代表參加，他們分別是游客15人，志愿者5人。
（I）從這20名代表中隨機選出3名談建議，求至少有1人是志愿者的概率；
（II）若隨機選出2名代表發言，
表示其游客人數，求的分布列和數學期望。
一、DDBCD CABCA
二、11．1；
12．
； 13．
14．
； 15．
；
16．
三．解答題（本大題共6小題，共76分）
17．解：（1）法一：由題可得
；
法二：由題
，
故
，從而
；
法三：由題
，解得
，
故，從而。
（2）
，令
，
則
，
在
單調遞減，
故
，
從而
的值域為
。
18．解：（1）
的可能取值為0,1,2,3,4，
，
，
，
，
。
因此隨機變量的分布列為下表所示；
0
1
2
3
4
（2）由⑴得：
，
19．法一：（1）連接
，設
，則
。
因為
，所以
，故
，從而
，
故
。
又因為
，
所以
，當且僅當
取等號。
此時
為
邊的中點，
為
邊的中點。
故當為邊的中點時，
的長度最小，其值為
（2）連接
，因為此時
分別為
的中點，
故
，所以
均為直角三角形，
從而
，所以
即為直線
與平面
所成的角。
因為
，所以
即為所求；
（3）因，又
，所以
。
又
，故三棱錐
的表面積為
。
因為三棱錐的體積
，
所以
。
法二：（1）因
，故
。
設
，則
。
所以
，
當且僅當
取等號。此時為邊的中點。
故當為的中點時，的長度最小，其值為；
（2）因，又，所以。
記點到平面的距離為
，
因，故
，解得
。
因
，故
；
（3）同“法一”。
法三：（1）如圖，以
為原點建立空間直角坐標系，設，則
，
所以，當且僅當取等號。
此時為邊的中點，為邊的中點。
故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；
（2）設
為面的法向量，因
，
故
。取
，得
。
又因
，故
。
因此
，從而
，
所以；
（3）由題意可設
為三棱錐的內切球球心，
則
，可得
。
與（2）同法可得平面
的一個法向量
，
又
，故
，
解得
。顯然
，故
。
20．解：（1）當
時，
。令
得
，
故當
時
，單調遞增；
當
時
，單調遞減。
所以函數的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為
；
（2）法一：因
，故
。
令
，
要使
對滿足
的一切
成立，則
，
解得
；
法二：，故。
由
可解得
。
因為
在
單調遞減，因此
在單調遞增，故
。設
，
則
，因為
，
所以
，從而
在單調遞減，
故
。因此
，即。
（3）因為
，所以
即
對一切
恒成立。
，令
，
則
。因為，所以
，
故
在
單調遞增，有
。
因此
，從而
。
所以
。
21．解：（1）設
，則由題
，
由
得
，故
。
又根據
可得
，
即
，代入可得
，
解得
（舍負）。故的方程為
；
（2）法一：設
，代入得
，
故
，
從而
因此
。
法二：顯然點是拋物線的焦點，點
是其準線
上一點。
設為的中點，過
分別作的垂線，垂足分別為
，
則
。
因此以為直徑的圓與準線相切（于點
）。
若與重合，則
。否則點在
外，因此
。
綜上知。
22．證明：（1）因
，故
。
顯然
，因此數列
是以
為首項，以2為公比的等比數列；
（2）由⑴知
，解得
；
（3）因為
所以
。
又
（當且僅當
時取等號），
故
。
綜上可得
。（亦可用數學歸納法）
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