由Sn求an.an={ 注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中.若不符合要單獨列出.一般已知條件中含an與Sn的關系的數列題均可考慮用上述公式, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在等差數列{an}中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數列{bn}的各項均為正數，b1=1，公比為q,且b2+ S2=12，.（Ⅰ）求an 與bn；（Ⅱ）設數列{cn}滿足，求{cn}的前n項和Tn.

【解析】本試題主要是考查了等比數列的通項公式和求和的運用。第一問中，利用等比數列{bn}的各項均為正數，b1=1，公比為q,且b2+ S2=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.     第二問中，，由第一問中知道，然后利用裂項求和得到Tn.

解： (Ⅰ) 設：{an}的公差為d,

因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因為……………8分

 

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在各項為正的數列{an}中，數列的前n項和Sn滿足Sn=
1
2
(an+
1
an
)
（1）求a1，a2，a3；
（2）由（1）結果猜想出數列{an}的通項公式（不用證明）；
（3）求Sn．

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設數列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，Sn）在函數f（x）=x2+x的圖象上．
（1）求an的表達式；
（2）設An為數列{
1(an-1)(an+1)
}的前n項和，是否存在實數a，使得不等式An＜a對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）將數列{an}依次按1項，2項循環地分為（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10），
…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{bn}，求b100的值；
（4）如果將數列{an}依次按1項，2項，3項，4項循環；分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{bn}，提出同（3）類似的問題（（3）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

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可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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已知{an}是由非負整數組成的數列，滿足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a3；
（2）證明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{an}的通項公式及其前n項和Sn．

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