題目列表(包括答案和解析)
設橢圓 :
(
)的一個頂點為
,
,
分別是橢圓的左、右焦點,離心率
,過橢圓右焦點
的直線
與橢圓
交于
,
兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得
,若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關系的運用。(1)中橢圓的頂點為,即
又因為
,得到
,然后求解得到橢圓方程(2)中,對直線分為兩種情況討論,當直線斜率存在時,當直線斜率不存在時,聯立方程組,結合
得到結論。
解:(1)橢圓的頂點為,即
,解得
,
橢圓的標準方程為
--------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當直線斜率不存在時,經檢驗不合題意. --------5分
②當直線斜率存在時,設存在直線為
,且
,
.
由得
, ----------7分
,
,
=
所以,
----------10分
故直線的方程為
或
即或
已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線
與橢圓
交于
兩點,且
?若存在,求出
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中,可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以
,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
第二問中,
假設存在這樣的直線,設
,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線
符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以
,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
(Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設
,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線
符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得
……② ……………………9分
則.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得
.
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是
已知函數,其中
.
(1)若在
處取得極值,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)討論函數在
的單調性;
(3)若函數在
上的最小值為2,求
的取值范圍.
【解析】第一問,因
在
處取得極值
所以,,解得
,此時
,可得求曲線
在點
處的切線方程為:
第二問中,易得的分母大于零,
①當時,
,函數
在
上單調遞增;
②當時,由
可得
,由
解得
第三問,當時由(2)可知,
在
上處取得最小值
,
當時由(2)可知
在
處取得最小值
,不符合題意.
綜上,函數在
上的最小值為2時,求
的取值范圍是
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