(2)對于橢圓C上任意一點M .試證:總存在角(∈R)使等式:＝cos+sin成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x0，y0）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）．
（1）試用x0，y0，m，n的代數式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如圖），求證：xE•xF是與MN和點P位置無關的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經過某種四則運算（加、減、乘、除），其結果是否是與MN和點P位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明．

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圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）．
（1）試用x，y，m，n的代數式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為（如圖），求證：xE•xF是與MN和點P位置無關的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經過某種四則運算（加、減、乘、除），其結果是否是與MN和點P位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明．

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圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）．
（1）試用x，y，m，n的代數式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為（如圖），求證：xE•xF是與MN和點P位置無關的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經過某種四則運算（加、減、乘、除），其結果是否是與MN和點P位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明．

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設F1、F2分別為橢圓C：數學公式的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，數學公式）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）已知圓心在原點的圓具有性質：若M、N是圓上關于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．試對橢圓數學公式寫出類似的性質，并加以證明．

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設F1、F2分別為橢圓C：的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）已知圓心在原點的圓具有性質：若M、N是圓上關于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．試對橢圓寫出類似的性質，并加以證明．

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一、選擇題

 1-6  C  A  B  B   B   D    7-12   B  C  B  B  B  C

二、填空 

 13．  4     14．      15． 2    16．

三、解答題

17．（1）解：由

       有    ……6分

由，  ……8分

由余弦定理

      當……12分

∴PB∥平面EFG. ………………………………3分

   （2）解：取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM//BD，

所成的角.………………4分

     在Rt△MAE中， ，

     同理，…………………………5分

又GM=，

∴在△MGE中，

………………6分

故異面直線EG與BD所成的角為arccos，………………………………7分

   （3）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件，

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA.

又AB∩PA=A,

∴AD⊥平面PAB. ……………………………………8分

又∵E，F分別是PA，PD中點，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.

又EF面EFQ，

∴面EFQ⊥面PAB. …………………………………9分

過A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，

∴AT就是點A到平面EFQ的距離. ……………………………………………10分

設，

    在， …………………………11分

    解得

    故存在點Q，當CQ=時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 12分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），

   （1）證明：

     …………………………1分

    設，

    即，

   

     ……………2分

    ，

    ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 3分

   （2）解：∵,…………………………………………4分

    ，……………………… 6分

 

20．（本小題滿分12分）

解：（1）數列{an}的前n項和，

                                      …………2分

又，

                           …………3分

是正項等比數列，

 

，                                               …………4分

公比，                                                                                    …………5分

數列                                  …………6分

   （2）解法一：，

由                        …………8分

，

當，                                      …………10分

又

故存在正整數M，使得對一切M的最小值為2…………12分

   （2）解法二：，

令，         …………8分

由，

函數…………10分

對于

故存在正整數M，使得對一切恒成立，M的最小值為2…………12

21．解：  1）設橢圓的焦距為2c,因為，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：      ①                     ………2分

易知右焦點F的坐標為（），

據題意有AB所在的直線方程為：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

設，弦AB的中點，由③及韋達定理有：

 

所以，即為所求。                                    ………5分

2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數，使得等式成立。設，由1）中各點的坐標有：

，所以

。                                   ………7分

又點在橢圓C上，所以有整理為。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A?B在橢圓上，故有                ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

對于橢圓上的每一個點，總存在一對實數，使等式成立，而

在直角坐標系中，取點P（），設以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。

也就是：對于橢圓C上任意一點M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                 ………12分

 

22.  …1分

在上無極值點      ……………………………2分

當時，令,隨x的變化情況如下表：

x

＋

0

－

遞增

極大值

遞減

從上表可以看出，當時，有唯一的極大值點

（2）解：當時，在處取得極大值

此極大值也是最大值。

要使恒成立，只需

的取值范圍是     …………………………………………………8分

（3）證明：令p=1，由（2）知:

        …………………………………………………………10分

         ……………………………………………14分

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