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（本小題12分）
在某個以旅游業為主的地區，每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發生周期性變化．現假設該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地用函數來刻畫．其中：正整數表示月份且，例如時表示1月份；和是正整數；．
統計發現，該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：
①各年相同的月份，該地區從事旅游服務工作的人數基本相同；
②該地區從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人；
③2月份該地區從事旅游服務工作的人數約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．
（I）試根據已知信息，確定一個符合條件的的表達式；
（II）一般地，當該地區從事旅游服務工作的人數超過400人時，該地區進入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪幾個月是該地區的旅游“旺季”？請說明理由．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

題號

7

8

9

10

11

答案

4

8.3

②、③

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

    推出．

依題意可知，當時，取得最小值．而，

故有，解得．

又點在橢圓的長軸上，即. 故實數的取值范圍是．

…2

…6

…8

…10

…12

16.（文）解：由條件，可得，故左焦點的坐標為.

設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

         ,

由二次函數性質可知，當時，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時點坐標為.

…2

…6

…8

…10

…12

17. 解：（1）當時，；

當且時，；

當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）

當時，.

（2） 由（1）知：當時，集合中的元素的個數無限；

當時，集合中的元素的個數有限，此時集合為有限集.

因為，當且僅當時取等號，

所以當時，集合的元素個數最少.

此時，故集合.

…2

…4

…6

…8

…12

…14

18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標系.不妨設.

依題意，可得點的坐標，，.

    于是，，.

 由，則異面直線與所成角的大小為.

（2）解：連結.  由，是的中點，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的體積為.可得.

所以，四棱錐的體積為

.

…3

…7

…9

…11

…13

…15

18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 （2）解：如圖所示. 由，，則面.所以，四棱錐的體積為.

…3

…6

…10

…15

19．解：（1）根據三條規律，可知該函數為周期函數，且周期為12.

由此可得，；

由規律②可知，，

；

又當時，，

所以，，由條件是正整數，故取.

 綜上可得，符合條件.

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，.

因為，，所以當時，，

故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”.

解法二：列表，用計算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”.

…3

…6

…9

…10

…12

…14

…16

…15

…16

20.解：（1）依條件得： 則無窮等比數列各項的和為：

     ；

  （2）解法一：設此子數列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項、公比均為，

其通項公式為，.

解法二：由條件，可設此子數列的首項為，公比為.

由………… ①

又若，則對每一都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，此子數列是首項、公比均為無窮等比子數列，通項公式為，.

…4

…7

…9

…10

…7

…9

…10

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.

解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和之積為1。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

因為等式左邊或為偶數，或為一個分數，而等式右邊為兩個奇數的乘積，還是一個奇數。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設計分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.

解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和相等。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設，則

①………… ②

1當時，②，等式左邊是偶數，右邊是奇數，矛盾；

2當時，②

或

   ，

兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們的各項和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設計分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.

解：假設存在滿足條件的原數列的兩個不同的無窮等比子數列。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：

第一個子數列：，各項和；第二個子數列：，

各項和，有，因而存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設計分4分，解答分6分.若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】

問題四：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？并說明理由. 解（略）：存在。

問題五：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？并說明理由. 解（略）：不存在.

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設計，可得設計分5分。解答分最高7分】

2008學年度第一學期上海市普陀區高三年級質量調研數學試卷（文科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

2. 拋物線的焦點坐標為              .

3. 已知函數，則          .

4. 設定義在上的函數滿足，若，則