在棱長為的正方體中,是線段的中點,.

(1) 求證:^；

(2) 求證://平面；

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用，得到結論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結論成立。

第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為， 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明：根據正方體的性質，

因為，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)證明：連接，因為，

所以為平行四邊形，因此，

由于是線段的中點，所以，      …………6分

因為面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為，              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為

 

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明

（3）因為∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，

∴與的夾角為，即二面角的大小為．

方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴，又點，，∴

∴，且與不共線，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為

 

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC、AD的中點.

（1）求證：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(1)證：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根據二面角P-BF-C的余弦值為,確定高PD的值，即可求出四棱錐的體積.也可利用傳統方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角時，要考慮運用三垂線或逆定理.

 

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側棱．

　（１）求三棱錐的體積；

�。ǎ玻┣笾本�與平面所成角的正弦值；

�。ǎ常┤衾�上存在一點，使得，當二面角的大小為時，求實數的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

       （4’）

,設平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設平面的法向量為，由得，      （10’）

 

如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為6的正方形，EF∥AB，EF=3，且EF與平面ABCD的距離為4，則該多面體的體積為．