如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F.

（1）證明 平面；

（2）證明平面EFD；

（3）求二面角的大小．

【解析】本試題主要考查了立體幾何中線面平行的判定，線面垂直的判定，以及二面角的求解的綜合運用試題。體現了運用向量求解立體幾何的代數手法的好處。

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，，分別是，的中點．

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）設PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.

【解析】第一問利用線面平行的判定定理，，得到

第二問中，利用，所以

又因為，，從而得

第三問中，借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.

（Ⅰ）證明： 分別是的中點，    

，．       …4分

（Ⅱ）證明：四邊形為正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,

∴

如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大�。�

【解析】第一問利用線面垂直的判定定理和建立空間直角坐標系得到法向量來表示二面角的。

第二問中，以A為原點，如圖所示建立直角坐標系

，，

設平面FAE法向量為，則

，，

如圖，在正四棱錐中，．

（1）求該正四棱錐的體積；

（2）設為側棱的中點，求異面直線與

所成角的大小．

【解析】第一問利用設為底面正方形中心，則為該正四棱錐的高由已知，可求得，

所以，

第二問設為中點，連結、，

可求得，，，

在中，由余弦定理，得

．

所以，

如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為蓌形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F分別是BC,PC的中點。 

（Ⅰ）求證：AE⊥PD；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求二面角E-AF-C的余弦值．

【解析】（Ⅰ）要證AE⊥PD ，先證AE⊥平面PAD，需要證明PA⊥AE，轉化為證PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立坐標系計算二面角E-AF-C的余弦值．