題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分12分) 已知函數的定義域為
,對于任意正數a、b,都有
,其中p是常數,且
.
,當
時,總有
.
(1)求(寫成關于p的表達式);
(2)判斷上的單調性,并加以證明;
(本題滿分12分) 某漁業個體戶今年年初用96萬元購進一艘漁船用于捕撈,規定這艘漁船的使用年限至多為15年. 第一年各種費用之和為10萬元,從第二年開始包括維修費用在內,每年所需費用之和都比上一年增加3萬元. 該船每年捕撈的總收入為45萬元.
(1)該漁業個體戶從今年起,第幾年開始盈利(即總收入大于成本及所有費用的和)?
(2)在年平均利潤達到最大時,該漁業個體戶決定淘汰這艘漁船,并將船以10萬元賣出,問:此時該漁業個體戶獲得的利潤為多少萬元?
(注:上述問題中所得的年限均取整數)(本題滿分12分) 設數列的前
項和為
,滿足
(
N*),令
.
(本題滿分12分) 已知函數,
.
(1)求函數的值域;
(本題滿分12分) 在九江市教研室組織的一次優秀青年教師聯誼活動中,有一個有獎競猜的環節.主持人準備了A、B兩個相互獨立的問題,并且宣布:幸運觀眾答對問題A可獲獎金1000元,答對問題B可獲獎金2000元,先答哪個題由觀眾自由選擇,但只有第一個問題答對,才能再答第二題,否則終止答題.若你被選為幸運觀眾,且假設你答對問題A、B的概率分別為、
.
(1) 記先回答問題A的獎金為隨機變量, 則
的取值分別是多少?
(2) 你覺得應先回答哪個問題才能使你獲得更多的獎金?請說明理由.
一、填空題:
1.
,均有x 2+ x +1≥0 2.第一象限 3.充分而不必要條件 4. 0.01
5. 4 6. 2550 7. 8.①④ 9. R(S1+S2+S3+S4)
10.
,11.
12.1
13.
14.
二、解答題:
15.(Ⅰ)因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率:
3′
直方圖如右所示 6′
(Ⅱ)依題意,60及以上的分數所在的第三、四、五、六組,頻率和為
所以,抽樣學生成績的合格率是
%.. 9 ′
利用組中值估算抽樣學生的平均分
=
=71
估計這次考試的平均分是71分 12′
16.(1)證明:連結BD.
在長方體中,對角線
.
又 E、F為棱AD、AB的中點,
.
.
又B1D1平面,
平面
,
EF∥平面CB1D1. 6′
(2) 在長方體
中,AA1⊥平面A1B
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B
B1D1⊥平面CAA
又 B1D1平面CB1D1,
平面CAA
17. (1)由得
4′
由正弦定理得
6′
8′
(2)
=
10′
=
12′
由(1)得
15′
18.(1)設C:+=1(a>b>0),設c>0,c2=a2-b2,由條件知a-c=,=,
∴a=1,b=c=,
故C的方程為:y2+=1 5′
(2)由=λ,
∴λ+1=4,λ=3 或O點與P點重合= 7′
當O點與P點重合=時,m=0
當λ=3時,直線l與y軸相交,則斜率存在。
設l與橢圓C交點為A(x1,y1),B(x2,y2)
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
Δ=(
x1+x2=, x1x2= 11′
∵=3 ∴-x1=3x2 ∴
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0
整理得4k
m2=時,上式不成立;m2≠時,k2=,
因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=>0,∴-1<m<- 或 <m<1
容易驗證k2>
即所求m的取值范圍為(-1,-)∪(,1)∪{0} 16′
19. ⑴由題意得
4′
(n≥2),
又∵,
數列
是以
為首項,以2為公比的等比數列。 8′
[則(
)]
⑵由及
得
,
11′
則
13′
16′
20. (1)設
∴
∴
由
又∵ ∴
∴ 6′
于是
由得
或
; 由
得
或
故函數的單調遞增區間為
和
,
單調減區間為和
10′
(2)證明:據題意且x1<x2<x3,
由(1)知f (x1)>f (x2)>f (x3),
14′
即ㄓ是鈍角三角形.
18′
第Ⅱ部分 加試內容
一.必答題:
1.(1)記事件A為“任取兩張卡片,將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”,由題意知
4′
(2)ξ可取1,2,3,4.
,
; 8′
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
答:ξ的數學期望為
10′
2.(1)由得
,
求得
3′
(2)猜想
5′
證明:①當n=1時,猜想成立。 6′
②設當n=k時時,猜想成立,即
, 7′
則當n=k+1時,有,
所以當n=k+1時猜想也成立 9′
③綜合①②,猜想對任何都成立。
10′
二、選答題:
3.(1)∵DE2=EF?EC,
∴DE : CE=EF: ED.
∵ÐDEF是公共角,
∴ΔDEF∽ΔCED. ∴ÐEDF=ÐC.
∵CD∥AP, ∴ÐC=Ð P.
∴ÐP=ÐEDF.----5′
(2)∵ÐP=ÐEDF, ÐDEF=ÐPEA,
∴ΔDEF∽ΔPEA. ∴DE : PE=EF : EA.即EF?EP=DE?EA.
∵弦AD、BC相交于點E,∴DE?EA=CE?EB.∴CE?EB=EF?EP. 10′
4.(矩陣與變換)
解:.
,
5′
橢圓在
的作用下的新曲線的方程為
10′
5.(1)直線的參數方程為,即
. 5′
(2)把直線代入
,
得,
,
則點到
兩點的距離之積為
.
10′
6.
7′
當且僅當 且
F有最小值
10′
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