在直角梯形中, , 高(如圖1). 動點同時從點出發, 點沿運動到點停止, 點沿運動到點停止,兩點運動時的速度都是1cm/s,而當點到達點時,點正好到達點. 設同時從點出發,經過的時間為(s)時, 的面積為 (如圖2). 分別以為橫、縱坐標建立直角坐標系, 已知點在邊上從到運動時, 與的函數圖象是圖3中的線段.

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（1）分別求出梯形中的長度;

（2）分別寫出點在邊上和邊上運動時, 與的函數關系式(注明自變量的取值范圍), 并在圖3中補全整個運動中關于的函數關系的大致圖象.

（3）問：是否存在這樣的t,使PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1:6的兩部分？若存在,求出這樣的t的值；若不存在,請說明理由．

在直角梯形中, , 高(如圖1). 動點同時從點出發, 點沿運動到點停止, 點沿運動到點停止,兩點運動時的速度都是1cm/s,而當點到達點時,點正好到達點. 設同時從點出發,經過的時間為(s)時, 的面積為 (如圖2). 分別以為橫、縱坐標建立直角坐標系, 已知點在邊上從到運動時, 與的函數圖象是圖3中的線段.

(圖1)                      (圖2)                (圖3)
（1）分別求出梯形中的長度;
（2）分別寫出點在邊上和邊上運動時, 與的函數關系式(注明自變量的取值范圍), 并在圖3中補全整個運動中關于的函數關系的大致圖象.
（3）問：是否存在這樣的t,使PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1:6的兩部分？若存在,求出這樣的t的值；若不存在,請說明理由．

如圖，用兩個邊長均為1的正方形ABCD和DCEF拼成一個矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，固定矩形ABEF，將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉．
（1）觀察并證明：當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE、EF相交于點G、H時（如圖甲），通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結論，并證明你的結論；
（2）操作：在旋轉過程中，設直角三角尺的兩直角邊分別與射線BE、射線EF交于G、H（如圖乙是旋轉過程中的一種狀態），DG交EH于O，設BG=x（x＞0）．
探究①：設直角三角尺與矩形ABEF重疊部分的面積為y，直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
探究②：在旋轉過程中，∠DGE能否為30°？若能，設此時過點D有一直線分別與EF、EG交于M、N，該直線恰好平分△OEG的面積，求EM的長，若不能，請說明理由（注：）．