拋物線y=ax²+bx+c經過點O（0，0），A（4，0），B（2，2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）畫出此拋物線的草圖；
（3）求證：△AOB是等腰直角三角形；
（4）將△AOB繞點O按順時針方向旋轉135°得△OA'B'，寫出邊A'B'的中點P的坐標，試判定點P是否在此拋物線上，并說明理由．

拋物線y=ax²+bx+c經過點O（0，0），A（4，0），B（2，2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）畫出此拋物線的草圖；
（3）求證：△AOB是等腰直角三角形；
（4）將△AOB繞點O按順時針方向旋轉135°得△OA'B'，寫出邊A'B'的中點P的坐標，試判定點P是否在此拋物線上，并說明理由．

把拋物線l₁：y=-x²向右平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到拋物線l₂．如圖，點A、B分別是拋物線l₂與x軸的交點，點C是拋物線l₂與y軸的交點．
（1）直接寫出拋物線l₂的解析式及其對稱軸；
（2）在拋物線l₂的對稱軸上求一點P，使得△PAC的周長最小．請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標；
（3）若點D是拋物線l₂上的一動點，且點D在第一象限內，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，DE與直線BC交于點F．設D點的橫坐標為t．試探究：
①四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點D的坐標；若不能，請簡要說明理由；
②四邊形CEBCD能否為梯形？若能，請求出符合條件的D點坐標；若不能，請說明理由．

設拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于兩個不同的點A（-l，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）問拋物線上是否存在一點M，使得S_△ABM=2S_△ABC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=-x-1交拋物線于另一點E．
①求tan∠ABD的值：
②若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．