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題目列表(包括答案和解析)

仿照例子解題:若數學公式恒成立,求M、N的值.
解:∵數學公式,∴數學公式
數學公式,即數學公式
數學公式,解得:數學公式
請你按照上面的方法解題:若數學公式恒成立,求M、N的值.

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唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發,走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
作法如下:如(1)圖,從B出發向河岸引垂線,垂足為D,在AP的延長線上,取B關于河岸的對稱點B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方,將軍只要從A出發,沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發現
再如(2)圖,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點E、F是底邊AD與BC的中點,連接EF,在線段EF上找一點P,使BP+AP最短.
作點B關于EF的對稱點,恰好與點C重合,連接AC交EF于一點,則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值為
 

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(2)實踐運用
如(3)圖,已知⊙O的直徑MN=1,點A在圓上,且∠AMN的度數為30°,點B是弧AN的中點,點P在直徑MN上運動,求BP+AP的最小值.
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(3)拓展遷移
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
①求這條拋物線所對應的函數關系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M,使△ACM周長最小,請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值.(結果保留根號)
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2009年中超足球聯賽于3月21日拉開帷幕.參賽球隊參加比賽的場數為30場,浙江綠城隊作為中超新軍,2008年第一次參加取得了第9名的成績,已在中超立足.以下是2008年15支中超球隊進球統計圖(其中武漢光谷隊因中途退賽,故不列入統計),請解答下列問題:
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(1)已知浙江綠城隊的進球數恰好也在這15支球隊中排名第9,且比15支中超球隊進球數的中位數少1個,則浙江綠城隊在2008年中超聯賽中的進球數是
 
個,并補全圖中的條形統計圖;
(2)關于浙江綠城隊的積分,現有以下幾個相關信息:
①中超聯賽決定名次辦法:積分多的隊名次列前;積分相等,則看積分相等隊之間相互比賽,先看積分,多者列前;再看凈勝球,多者列前;再是進球數,多者列前.
②足球比賽勝一場,積分3分;平一場,積分1分;負一場,積分0分,以此來計算各球隊的總積分.
③浙江綠城隊平的場數比負的場數多3場.
④第8名的青島盛文隊的積分為39分,第10名的河南四五隊的積分為36分.
請你利用以上信息,求出浙江綠城隊的積分.

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觀察發現
(1)如圖1,若點A、B在直線l同側,在直線l上找一點P,使AP+BP的值最小.
作法如下:作點B關于直線l的對稱點B′,連接AB′,與直線l的交點就是所求的點P.
(2)如圖2,在等邊三角形ABC中,AB=4,點E是AB的中點,AD是高,在AD上找一點P,使BP+PE的值最小.
作法如下:作點B關于AD的對稱點,恰好與點C重合,連接CE交AD于一點,則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為
2
3
2
3

實踐運用
如圖3,菱形ABCD中,對角線AC、BD分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點,若點P是BD上的動點,則MP+PN的最小值是
5
5

拓展延伸
(1)如圖4,正方形ABCD的邊長為5,∠DAC的平分線交DC于點E.若點P,Q分別是AD和AE上的動點,則DQ+PQ的最小值是
5
2
2
5
2
2

(2)如圖5,在四邊形ABCD的對角線BD上找一點P,使∠APB=∠CPB.保留畫圖痕跡,并簡要寫出畫法.

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9、作圖題(作圖2分,其于每空2分,共12分)
按要求畫圖,并填空:
(1)畫∠AOB=60°;
(2)以O為頂點,OA為一邊,畫AOC=60,并使OC與OB在OA的兩側,則OA是∠COB的
平分線
;
(3)分別在OB、OC上取點M、N,并使OM=ON=2cm,量得點M、N間的距離是
3.4
cm(精確到0.1cm);
(4)若線段MN與OA的交點是P,量得MP=
1.7
cm,NP=
1.7
cm,故點P是線段MN的
點.

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