題目列表(包括答案和解析)
已知
是公差為d的等差數列，
是公比為q的等比數列
（Ⅰ）若 
，是否存在
，有
？請說明理由；
（Ⅱ）若
（a、q為常數，且aq
0）對任意m存在k，有
，試求a、q滿足的充要條件；
（Ⅲ）若
試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明.
【解析】第一問中，由
得
，整理后，可得
、
，
為整數
不存在
、
，使等式成立。
（2）中當
時，則
即
，其中
是大于等于
的整數
反之當時，其中是大于等于的整數，則
，
顯然
，其中
、
滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數
（3）中設
當
為偶數時，
式左邊為偶數，右邊為奇數，
當為偶數時，式不成立。由式得
，整理
當
時，符合題意。當
，為奇數時，
結合二項式定理得到結論。
解（1）由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。
（2）當時，則即，其中是大于等于的整數反之當時，其中是大于等于的整數，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數
（3）設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，
當為偶數時，式不成立。由式得，整理
當時，符合題意。當，為奇數時，
由，得
當為奇數時，此時，一定有
和
使上式一定成立。當為奇數時，命題都成立
已知
是公差為d的等差數列，
是公比為q的等比數列
（1）若 
，是否存在
，有
？請說明理由；
（2）若
（a、q為常數，且aq
0）對任意m存在k，有
，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若
試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明.
1．1 2．
3．
4．－8 5．
6．20
7．
8．1 9．0 10．
11．
12．
13．
14．（1005，1004）
15.⑴ ∵ 
，……………………………… 2分
又∵ 
，∴ 
而
為斜三角形，
∵
，∴
. ……………………………………………………………… 4分
∵
，∴
. …………………………………………………… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16．⑴∵
平面
，
平面，所以
，…2分
∵是菱形，∴
，又
，
∴
平面
，……………………………………………………4分
又∵平面
，∴平面
平面
． ……………………………………6分
⑵取
中點
，連接
,則
，
∵是菱形，∴
，
∵
為
的中點，∴
，………………10分
∴
．
∴四邊形
是平行四邊形，∴
，………………12分
又∵
平面
，
平面．
∴
平面． ………………………………………………………………14分
17.（1）∵直線
過點
，且與圓
：
相切，
設直線
的方程為
，即
， …………………………2分
則圓心
到直線的距離為
，解得
，
∴直線的方程為
，即． …… …………………4分
（2）對于圓方程
,令
，得
,即
．又直線
過點
且與
軸垂直，∴直線方程為
，設
，則直線
方程為
解方程組
,得
同理可得,
……………… 10分
∴以
為直徑的圓
的方程為
，
又
，∴整理得
，……………………… 12分
若圓經過定點，只需令
，從而有
，解得
，
∴圓總經過定點坐標為
． …………………………………………… 14分
18．⑴因為當
時，
，所以
， ……4分
∴
………………………………………………………6分
⑵設每小時通過的車輛為
，則
．即
……12分
∵
，…………………………………………………14分
∴
，當且僅當
，即
時，
取最大值
．
答：當
時，大橋每小時通過的車輛最多．………16分
19.（1）由
，得
∴b、c所滿足的關系式為
．……………………2分
（2）由
，，可得
．
方程
，即
，可化為
，
令
，則由題意可得，
在
上有唯一解，…4分
令
，由
，可得
，
當
時，由
，可知
是增函數；
當
時，由
，可知是減函數．故當時，取極大值
．………6分
由函數的圖象可知，當
或
時，方程有且僅有一個正實數解．
故所求
的取值范圍是
或
． ……………………………………………8分
（3）由
，，可得
．由
且
且
且．…10分
當
時， 
；當
時，
；
當
時（
），
；當
時，
且
；
當
時，
∪
． ………………………16分
注：可直接通過研究函數
與
的圖象來解決問題．
20．（1）由
，且等差數列
的公差為
，可知
，
若插入的一個數在
之間，則
，
，
消去
可得
，其正根為
． ………………………………2分
若插入的一個數在
之間，則
，，
消去可得
，此方程無正根．故所求公差．………4分
（2）設在之間插入
個數，在之間插入
個數，則
，在等比數列
中，
∵
，
…，
，
∴
…
…
………………8分
又∵
，
，
都為奇數，∴
可以為正數，也可以為負數．
①若為正數，則
…
，所插入
個數的積為
；
②若為負數，
…
中共有
個負數，
當
是奇數，即
N*)時，所插入個數的積為；
當是偶數，即
N*）時，所插入個數的積為
．
綜上所述，當N*)時，所插入個數的積為；
當N*）時，所插入個數的積為
．…………10分
注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進行求解．
（3）∵在等比數列，由
，可得
，同理可得
，
∴
，即
， …………………………12分
假設是有理數，若為整數，∵是正數，且
，∴
，
在
中，∵
是的倍數，故1也是的倍數，矛盾．
若不是整數，可設
（其中
為互素的整數，
），
則有
，即
，
∵
，可得
，∴
是x的倍數，即
是x的倍數，矛盾．
∴ 是無理數．……………………………………16分
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