對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f′（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀f（x））為函數y=f（x）的“拐點”．已知函數f（x）=x³-6x²+5x+4，請回答下列問題．（1）求函數f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論；
（3）寫出一個三次函數G（x），使得它的“拐點”是（1，3）（不要過程）

20080428

三、17、解：

（1）

       ∵相鄰兩對稱軸的距離為

   （2）

       ，

       又

       若對任意，恒有

       解得

18、（理）解  用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.

（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3.

              ＝

              ＝

              =

              =

所以， 的分布列是

0

1

2

3

P

的期望

（文）解  基本事件共有6×6=36個.　 (Ⅰ) 是5的倍數包含以下基本事件： (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2)  (4, 6) (6, 4) (5, 5)共7個.所以，是5的倍數的概率是 .

（Ⅱ）是3的倍數包含的基本事件（如圖）

共20個，所以，是3的倍數的概率是.

（Ⅲ）此事件的對立事件是都不是5或6，其基本事件有個，所以，中至少有一個5或6的概率是.

19、證明：（1）∵

∴                                         

（2）令中點為，中點為，連結、

     ∵是的中位線

∴              

又∵

∴

∴    

     ∴

     ∵為正

∴       

     ∴

     又∵，

 ∴四邊形為平行四邊形   

∴

∴  

20、解：（1）由及，得：

     （2）由             ①

          得         ②

      由②―①，得  

       即：

      由于數列各項均為正數，

         即 

      數列是首項為，公差為的等差數列，

      數列的通項公式是  

    （3）由，得：

21、解（1）由題意的中垂線方程分別為，

于是圓心坐標為

=＞，即   ＞即＞所以＞ ，

于是＞ 即＞ ，所以＜  即 ＜＜

（2）假設相切， 則，

， 這與＜＜矛盾.

故直線不能與圓相切.

22、(理)

（文）（1）f ′(x)＝3x²＋2a x＋b＝0．由題設，x＝1，x＝－為f ′(x)＝0的解．－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2．經檢驗得：這時與都是極值點．（2）f (x)＝x³－x²－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．∴f (x)＝x³－x²－2 x＋1．

x

（－∞，－）

（－，1）

（1，＋∞）

f ′(x)

＋

－

＋

∴  f (x)的遞增區間為（－∞，－），及（1，＋∞），遞減區間為（－，1）．當x＝－時，f (x)有極大值，f (－)＝；當x＝1時，f (x)有極小值，f (1)＝－．（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x³－x²－2 x＋c， f (x)在[－1，－及（1，2]上遞增，在（－，1）遞減．而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．∴  f (x)在[－1，2]上的最大值為c＋2．

∴  ∴  ∴   或∴  或．