題目列表(包括答案和解析)
設函數f(x)=在[1,+∞
上為增函數.
(1)求正實數a的取值范圍;
(2)比較的大小,說明理由;
(3)求證:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一問中,利用
解:(1)由已知:,依題意得:
≥0對x∈[1,+∞
恒成立
∴ax-1≥0對x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上為增函數,
∴n≥2時:f()=
(3) ∵ ∴
已知是公差為d的等差數列,
是公比為q的等比數列
(Ⅰ)若 ,是否存在
,有
?請說明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數,且aq
0)對任意m存在k,有
,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數列
中存在某個連續p項的和式數列中
的一項,請證明.
【解析】第一問中,由得
,整理后,可得
、
,
為整數
不存在
、
,使等式成立。
(2)中當時,則
即
,其中
是大于等于
的整數
反之當時,其中
是大于等于
的整數,則
,
顯然,其中
、
滿足的充要條件是
,其中
是大于等于
的整數
(3)中設當
為偶數時,
式左邊為偶數,右邊為奇數,
當為偶數時,
式不成立。由
式得
,整理
當時,符合題意。當
,
為奇數時,
結合二項式定理得到結論。
解(1)由得
,整理后,可得
、
,
為整數
不存在
、
,使等式成立。
(2)當時,則
即
,其中
是大于等于
的整數反之當
時,其中
是大于等于
的整數,則
,
顯然,其中
、
滿足的充要條件是
,其中
是大于等于
的整數
(3)設當
為偶數時,
式左邊為偶數,右邊為奇數,
當為偶數時,
式不成立。由
式得
,整理
當時,符合題意。當
,
為奇數時,
由
,得
當
為奇數時,此時,一定有
和
使上式一定成立。
當
為奇數時,命題都成立
已知是等差數列,其前n項和為Sn,
是等比數列,且
,
.
(Ⅰ)求數列與
的通項公式;
(Ⅱ)記,
,證明
(
).
【解析】(1)設等差數列的公差為d,等比數列
的公比為q.
由,得
,
,
.
由條件,得方程組,解得
所以,
,
.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數學歸納法)
① 當n=1時,,
,故等式成立.
② 假設當n=k時等式成立,即,則當n=k+1時,有:
即,因此n=k+1時等式也成立
由①和②,可知對任意,
成立.
已知橢圓的離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過點(2,0)的直線與橢圓
相交于兩點
,設
為橢圓上一點,且滿足
(O為坐標原點),當
<
時,求實數
的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中,利用
第二問中,利用直線與橢圓聯系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的
<
不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
,
則,即
.不防設
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
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