題目列表(包括答案和解析)
,
,
為常數,離心率為
的雙曲線
:
上的動點
到兩焦點的距離之和的最小值為
,拋物線
:
的焦點與雙曲線
的一頂點重合。(Ⅰ)求拋物線
的方程;(Ⅱ)過直線
:
(
為負常數)上任意一點
向拋物線
引兩條切線,切點分別為
、
,坐標原點
恒在以
為直徑的圓內,求實數
的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為
,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點為
,所以拋物線
的方程
第二問中,為
,
,
,
故直線的方程為
,即
,
所以,同理可得:
借助于根與系數的關系得到即,
是方程
的兩個不同的根,所以
由已知易得,即
解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為
,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點為
,所以拋物線
的方程
(Ⅱ)設為
,
,
,
故直線的方程為
,即
,
所以,同理可得:
,
即,
是方程
的兩個不同的根,所以
由已知易得,即
已知曲線上動點
到定點
與定直線
的距離之比為常數
.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點
平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點
為圓心作圓
:
,設圓
與曲線
交于點
與點
,求
的最小值,并求此時圓
的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線
的垂線,垂足為D.
代入坐標得到
第二問當斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關于X軸對稱,設,, 不妨設
.
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當
時,
取得最小值為
.
計算得,,故
,又點
在圓
上,代入圓的方程得到
.
故圓T的方程為:
如圖,在四棱錐P-ABCD中,則面PAD⊥底面 ABCD,
側棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形,其中
BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(3)線段AD上是否存在點Q,使得它到平面PCD的距離為?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
已知拋物線C的對稱軸與y軸平行,頂點到原點的距離為5,若將拋物線C向上平移3個單位,則在x軸上截得的線段為原拋物線C在x軸上截得的線段的一半;若將拋物線C向左平移1個單位,則所得拋物線過原點,求拋物線C的方程.
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α |
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β |
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π |
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