（2012•增城市模擬）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，且當n＞1時，2a_n=a_n-1+a_n+1恒成立．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=a₁+a₂+…+a_n，求和

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

（2012•鹽城一模）對于函數f（x），若存在實數對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數f（x）是“（a，b）型函數”．
（1）判斷函數f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數”，并說明理由；
（2）已知函數g（x）是“（1，4）型函數”，當x∈[0，2]時，都有1≤g（x）≤3成立，且當x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．試求m的取值范圍．

（2011•東城區二模）已知a，b為兩個正數，且a＞b，設a₁=

a+b

2

，b₁=

ab

，當n≥2，n∈N^*時，a_n=

an-1+bn-1

2

，b_n=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是遞減數列，數列{b_n}是遞增數列；
（Ⅱ）求證：a_n+1-b_n+1＜

1

2

（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常數C＞0使得對任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由．

已知函數f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）當a=

1

2

時，求函數g（x）的單調區間和極值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）若數列{a_n}滿足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n為數列{a_n}的前n項和，求證：當n≥2時，S_n＜1+lnn．