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A．選修4-1：幾何證明選講
銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于點E，連接EC，求∠OEC．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線C₁=x²+2y2=1在矩陣M=[

1 2 0 1

]的作用下變換為曲線C₂，求C₂的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
P為曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）上一點，求它到直線C₂：

x=1+2t y=2

（t為參數）距離的最小值．
D．選修4-5：不等式選講
設n∈N^*，求證：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC
交于點D．求證：ED²=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點．A，B，C，求線段AB的長．
D．選修4-5：不等式選講
對于實數x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB的中點．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為，點P（2，-1）在矩陣A對應的變換下得到點P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為，曲線C的參數方程為（α為參數），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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說明：

    一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題

的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．

    二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的

內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如

果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得累加分．

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．

一、選擇題(每小題5分，滿分60分)

1．C   2．D   3．D   4．C   5．B   6．B   7．A   8．D   9．B   10．B  11．A  12．C

簡答與提示：

1．，故選C.

2．∵

   ∴，故選D．

3．因為四個命題均有線在面內的可能，所以均不正確，故選D．

4．，故選C．

5．利用疊加法及等比數列求和公式，可求得，故選B.

6．以為直徑的圓與圓的公共弦即為所求，直線方程為，故

選B．

7．，將的圖象先向左平移個單位得到

的圖象，再沿軸將橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變)得到的圖象，故選A．

8．在點(0，一1)處目標函數取得最大值為9，故選D．

9．先在后三位中選兩個位置填兩個數字“0”有種填法，再排另兩張卡片有種排

   法，再決定用數字“9”還是“6”有兩種可能，所以共可排成個四位數，

   故選B．

10．依題意，∴，故選B．

11．因為函數在其定義域內為減函數，所以

恒成立，即為減函數(切線斜率減小)，故選A．

12．，

∵，∴，當A、F、B

三點共線時取得最小值，故選C．

二、填空題(每題5分．共20分}

  13．3      14．      15．28      16．①③

  簡答與提示：

  13．∵V_正四面體 ，∴.

  14．∵，∴，∴．

  15．∵，

    ∴，∴．

  16．∵，

      ∴，

      ∵，

      ∴，故①③正確．

三、解答題(滿分70分)

  17．本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數圖象及性質．

      解：(1)∵

                    (4分)

             ∴．

          (2)當，即時，，       ，    (6分)

             當，即，，

             ∴函數的值域為[，1]．                              (10分)

  18．本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題解決問題的

能力．

      解．(1)中一等獎的概率為，                         (2分)

            中二等獎的概率為，                          (4分)

中三等獎的概率為，                       (6分)

∴搖獎一次中獎的概率為                    (7分)

(2) 由(1)可知，搖獎一次不中獎的概率為            (9分)

            設搖獎一次莊家所獲得的金額為隨機變量，則隨機變量的分布列為：

            ∴

∴搖獎一次莊家獲利金額的期望值為元                      (12分)

19．本小題主要考查空間線面位置關系、異面直線所成角、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應用．

解法一：(1)證明：

               取中點為，連結、，

               ∵△是等邊三角形，

               ∴

               又∵側面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中點，連結、，                            (6分)

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                     (9分)

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小為                           (12分)

解法二：證明：(1) 取中點為，中點為，連結，

                ∵△是等邊三角形，

∴，

又∵側面底面，

∴底面，

∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系

如圖，    (2分)

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)設平面的法向量為

   ∵

   ∴

令，則，∴               (8分)

設平面的法向量為，              

∵，

∴，

令，則，∴         (10分)

∴，

∴，

                ∴二面角的大小為.                          (12分)

20．本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力

解：(1)設，則

    ∵,∴，∴，               (3分)

又，∴

∴曲線的方程為                                     (6分)

(2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點，設直線方程為

，由消去得，，

∴          (9分)

∴

       ，

當，即時取得最大值，

此時直線方程為.                                (12分)

21．本小題主要考察等差數列定義、通項、數列求和、不等式等基礎知識，考察綜合分析問題的能力和推理論證能力．

解：(1)∵，

       ∴                                          (2分)

           ∴，   

           ∵  ∴.                              (4分)

           ∵∴，∴，

           ∴，

           ∴數列是以2為首項，以1為公差的等差數列，

           ∴，∴，

           ∴．                                        (7分)

(2)，

  ∵

           ∴                                                (10分)

           當時，

           ，

           當時，，

           ∴.                                                (12分)

22．本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質

   的方法，考查分析問題和解決問題的能力．

解：(1)∵

∴，                                       (1分)

設.

∴，

∴(1+z)在上為減函數．                             (3分)

∴，

∴，

∴函數在上為減函數．                       (5分)

(2)在上恒成立，

          在上恒成立，                           (6分)

          設，則，

          ∴，                                              (7分)

          若，則時，