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本題滿分12分）
某超市為促銷商品，特舉辦“購物有獎100%中獎”活動，凡消費者在該超市購物滿10元，可獲得一次搖獎機會，購物滿20元，可獲得兩次搖獎機會，以此類推，搖獎機結構如圖，將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落，小球在下落過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋為一等獎，獎金2元，落入B袋為二等獎，獎金1元，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是

（I）求搖獎兩次均獲得一等獎的概率；
（II）某消費者購物滿20元，搖獎后所得獎金為X元，試求X的分布列與期望；
（III）若超市同時舉行購物八八折讓利于消費者活動（打折后不能再參加搖獎），某消費者剛好消費20元，請問他是選擇搖獎還是選擇打折比較劃算。

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說明：

    一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題

的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．

    二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的

內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如

果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得累加分．

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．

一、選擇題(每小題5分，滿分60分)

1．C   2．D   3．D   4．C   5．B   6．B   7．A   8．D   9．B   10．B  11．A  12．C

簡答與提示：

1．，故選C.

2．∵

   ∴，故選D．

3．因為四個命題均有線在面內的可能，所以均不正確，故選D．

4．，故選C．

5．利用疊加法及等比數列求和公式，可求得，故選B.

6．以為直徑的圓與圓的公共弦即為所求，直線方程為，故

選B．

7．，將的圖象先向左平移個單位得到

的圖象，再沿軸將橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變)得到的圖象，故選A．

8．在點(0，一1)處目標函數取得最大值為9，故選D．

9．先在后三位中選兩個位置填兩個數字“0”有種填法，再排另兩張卡片有種排

   法，再決定用數字“9”還是“6”有兩種可能，所以共可排成個四位數，

   故選B．

10．依題意，∴，故選B．

11．因為函數在其定義域內為減函數，所以

恒成立，即為減函數(切線斜率減小)，故選A．

12．，

∵，∴，當A、F、B

三點共線時取得最小值，故選C．

二、填空題(每題5分．共20分}

  13．3      14．      15．28      16．①③

  簡答與提示：

  13．∵V_正四面體 ，∴.

  14．∵，∴，∴．

  15．∵，

    ∴，∴．

  16．∵，

      ∴，

      ∵，

      ∴，故①③正確．

三、解答題(滿分70分)

  17．本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數圖象及性質．

      解：(1)∵

                    (4分)

             ∴．

          (2)當，即時，，       ，    (6分)

             當，即，，

             ∴函數的值域為[，1]．                              (10分)

  18．本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題解決問題的

能力．

      解．(1)中一等獎的概率為，                         (2分)

            中二等獎的概率為，                          (4分)

中三等獎的概率為，                       (6分)

∴搖獎一次中獎的概率為                    (7分)

(2) 由(1)可知，搖獎一次不中獎的概率為            (9分)

            設搖獎一次莊家所獲得的金額為隨機變量，則隨機變量的分布列為：

            ∴

∴搖獎一次莊家獲利金額的期望值為元                      (12分)

19．本小題主要考查空間線面位置關系、異面直線所成角、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應用．

解法一：(1)證明：

               取中點為，連結、，

               ∵△是等邊三角形，

               ∴

               又∵側面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中點，連結、，                            (6分)

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                     (9分)

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小為                           (12分)

解法二：證明：(1) 取中點為，中點為，連結，

                ∵△是等邊三角形，

∴，

又∵側面底面，

∴底面，

∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系

如圖，    (2分)

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)設平面的法向量為

   ∵

   ∴

令，則，∴               (8分)

設平面的法向量為，              

∵，

∴，

令，則，∴         (10分)

∴，

∴，

                ∴二面角的大小為.                          (12分)

20．本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力

解：(1)設，則

    ∵,∴，∴，               (3分)

又，∴

∴曲線的方程為                                     (6分)

(2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點，設直線方程為

，由消去得，，

∴          (9分)

∴

       ，

當，即時取得最大值，

此時直線方程為.                                (12分)

21．本小題主要考察等差數列定義、通項、數列求和、不等式等基礎知識，考察綜合分析問題的能力和推理論證能力．

解：(1)∵，

       ∴                                          (2分)

           ∴，   

           ∵  ∴.                              (4分)

           ∵∴，∴，

           ∴，

           ∴數列是以2為首項，以1為公差的等差數列，

           ∴，∴，

           ∴．                                        (7分)

(2)，

  ∵

           ∴                                                (10分)

           當時，

           ，

           當時，，

           ∴.                                                (12分)

22．本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質

   的方法，考查分析問題和解決問題的能力．

解：(1)∵

∴，                                       (1分)

設.

∴，

∴(1+z)在上為減函數．                             (3分)

∴，

∴，

∴函數在上為減函數．                       (5分)

(2)在上恒成立，

          在上恒成立，                           (6分)

          設，則，

          ∴，                                              (7分)

          若，則時，