一個等比數列的首項為1,項數是偶數,其奇數項的和為85,偶數項的和為170,求此數列的公比和項數.

思路分析:因奇數項和與偶數項和不同,項數相同,可知其公比q≠1,故可直接套用求和公式,列方程組解決.

已知是等差數列，其前n項和為S_n，是等比數列，且，.

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 與b_n；（Ⅱ）設數列{c_n}滿足，求{c_n}的前n項和T_n.

【解析】本試題主要是考查了等比數列的通項公式和求和的運用。第一問中，利用等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二問中，，由第一問中知道，然后利用裂項求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 設：{a_n}的公差為d,

因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因為……………8分

 

已知等差數列{a_n}的首項為4，公差為4，其前n項和為S_n，則數列 {}的前n項和為（　　）

A．

B．

C．

D．

考點：	數列的求和；等差數列的性質．
專題：	等差數列與等比數列．
分析：	利用等差數列的前n項和即可得出Sn，再利用“裂項求和”即可得出數列 {}的前n項和．
解答：	解：∵Sn=4n+=2n2+2n， ∴． ∴數列 {}的前n項和===． 故選A．
點評：	熟練掌握等差數列的前n項和公式、“裂項求和”是解題的關鍵．

已知數列是首項為的等比數列，且滿足.

（1）   求常數的值和數列的通項公式；

（2）   若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列，試寫出數列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設數列的前項和為.是否存在正整數，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數p使得數列為等比數列，

則即，所以p=1

故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即.

此時也滿足，則所求常數的值為1且

第二問中，解：由等比數列的性質得：

（i）當時，；

（ii） 當時，，

所以

第三問假設存在正整數n滿足條件，則，

則（i）當時，

，