已知數列中，，，數列中，，且點在直線上。

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）若，求數列的前項和；

【解析】第一問中利用數列的遞推關系式

，因此得到數列的通項公式；

第二問中，在 即為：

即數列是以的等差數列

得到其前n項和。

第三問中， 又   

，利用錯位相減法得到。

解：（1）

  即數列是以為首項，2為公比的等比數列

                  ……4分

（2）在 即為：

即數列是以的等差數列

         ……8分

（3） 又   

   ①         ②

①-  ②得到

已知正項數列的前n項和滿足：，

（1）求數列的通項和前n項和；

（2）求數列的前n項和；

（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

【解析】第一問中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結論

第二問中，利用裂項求和的思想得到結論。

第三問中，

又

結合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項數列，∴           ∴ 

又n=1時，

∴   ∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對任意的，都成立．

. （本小題滿分12分）設函數（為常數，），若，且只有一個實數根.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若數列滿足關系式：（且），又，證明數列是等差數列并求的通項公式；