題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分,每小題7分)
(Ⅰ)設函數,如果
,
,求
的取值范圍.
(Ⅱ)用放縮法證明不等式:
已知數列的前
項和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設 (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結論。
解:(Ⅰ)當時,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對偶式)設,
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因為
,所以
.即
………10分
證法四:(數學歸納法)①當時,
,命題成立;
②假設時,命題成立,即
,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
已知正項數列的前n項和
滿足:
,
(1)求數列的通項
和前n項和
;
(2)求數列的前n項和
;
(3)證明:不等式 對任意的
,
都成立.
【解析】第一問中,由于所以
兩式作差,然后得到
從而得到結論
第二問中,利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中,
又
結合放縮法得到。
解:(1)∵ ∴
∴
∴ ∴
………2分
又∵正項數列,∴
∴
又n=1時,
∴ ∴數列
是以1為首項,2為公差的等差數列……………3分
∴
…………………4分
∴
…………………5分
(2) …………………6分
∴
…………………9分
(3)
…………………12分
又
,
∴不等式 對任意的
,
都成立.
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