21．已知二次函數. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表達式；
（2）設1＜m≤e，H（x）=g（x+
1
2
）+mlnx-（m+1）x+
9
8
，求證：H（x）在[1，m]上為減函數；
（3）在（2）的條件下，證明：對任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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已知二次函數f（x）=x2+bx+1（b∈R），滿足f（-1）=f（3）．
（1）求b的值；
（2）當x＞1時，求f（x）的反函數f-1（x）；
（3）對于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-
x
)在[
1
4
，
1
2
]上恒成立，求實數m的取值范圍．

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已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的最小值為0，且滿足條件①f（x-4）=f（2-x），②對任意的x∈R有f（x）≥x，當x∈（0，2）時，f(x)≤(
x+1
2
)2，那么f（a）+f（c）-f（b）的值為（　�。�
A、0
B、
7
32
C、
9
16
D、1

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已知二次函數f（x）=ax2+bx+c的導數為f′（x），f′（0）＞0，對于任意實數x都有f（x）≥0，則
f(1)
f′(0)
的最小值為（　�。�
A、3
B、
5
2
C、2
D、
3
2

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已知二次函數f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不論α、β為何實數，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求證：b+c=-1；
（2）求證：c≥3；
（3）若函數f（sinα）的最大值為8，求b、c的值．

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一、BDCBD    ACA CC    

二、                    ①④

三、16．解：（1）  

  即   

又為銳角       

 （2）

  又 代入上式得：（當且僅當 時等號成立。）

  （當且僅當 時等號成立。）

17．解：（1）由已知得 解得．設數列的公比為，

由，可得．又，可知，即，

解得． 由題意得．  ．故數列的通項為．

  （2）由于   由（1）得 

=

18．解：（1）因為     圖象的一條對稱軸是直線 

20081226

（2）

  由得

分別令，得的單調增區間是（開閉區間均可）。

（3） 列表如下：

0

0

1

0

―1

0

19．解：（I）由，則.

兩式相減得. 即.          

又時，.∴數列是首項為4，公比為2的等比數列.

（Ⅱ）由（I）知.∴            

①當為偶數時，，

∴原不等式可化為，即.故不存在合條件的.      

②當為奇數時，.

原不等式可化為，所以，又m為奇數，所以m=1,3,5……

20．解：（1）依題意，得

∴ ∴

   （2）令

當在此區間為增函數

當在此區間為減函數

當在此區間為增函數

處取得極大值又

因此，當

要使得不等式

所以，存在最小的正整數k=2007，

使得不等式恒成立�！�7分

  （3）（方法一）

     

又∵∴由（2）知在為增函數，

綜上可得

（方法2）由（2）知，函數

上是減函數，在[，1]上是增函數又

所以，當時，－

又t>0，

，且函數上是增函數，

 

綜上可得

21．解：（1） 

當時，

函數有一個零點；當時，，函數有兩個零點。

   （2）假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，∴即  

由②知對,都有

令得又因為恒成立，  ，即，即

由得，

當時，，

其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,

都有，滿足條件②�！啻嬖�，使同時滿足條件①、②。

   （3）令，則

，

在內必有一個實根。即，

使成立。

 

 

 

 

 

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