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題目列表(包括答案和解析)

（本小題12分）本某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對400名高一學生的一周課外體育鍛煉時間進行調查，結果如下表所示：

鍛煉時間（分鐘）

人數

40

60

80

100

80

40

（1）完成頻率分布直方圖，并估計該中學高一學生每周參加

課外體育鍛煉時間的平均值（同一組中的數據用該區間的組中值作代表）；

（2）現采用分層抽樣的方法抽取容量為20的樣本，

①應抽取多少名課外體育鍛煉時間為分鐘的學生；

②若從①中被抽取的學生中隨機抽取2名，求這2名學生課外體育鍛煉時間均為分鐘的概率。

 

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（本小題12分）如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？

 

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（本小題12分）某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得x∈[10,1000]萬元的投資收益.現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.

（Ⅰ）若建立函數f(x)模型制定獎勵方案，試用數學語言表述公司對獎勵函數f(x)模型

的基本要求；

（Ⅱ）現有兩個獎勵函數模型：(i) y＝；(ii) y＝4lgx－3.試分析這兩個函數模型

是否符合公司要求？

 

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（本小題12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度v是車流密度的一次函數．

（Ⅰ）當時，求函數的表達式；

（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）

 

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（本小題12分）

一海輪以20海里/小時的速度向正東航行，它在A點時測得燈塔P在船的北偏東60°方向上，2小時后船到達B點時測得燈塔P在船的北偏東45°方向上。求：

①  船在B點時與燈塔P的距離。

②  已知以點P為圓心，55海里為半徑的圓形水城內有暗礁，那么這船繼續向正東航行，有無觸礁的危險？

 

 

 

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一、1 B     2 D    3 A   4 D     5 C     6 B   

7 A     8  A   9 C   10 D    11 C    12 B

二、13、3     14、      15、-160       16、   

三、17、解: (1)      ……… 3分

     的最小正周期為                     ………………… 5分

(2)  ,    …………………   7分     

               ………………… 10分  

               …………………  11分

 當時,函數的最大值為1,最小值  ……… 12分

18.解：(1)P1=；                          ……… 6分

（2）方法一：P2=

方法二：P2=

方法三：P2=1-            ……… 12分

19、解法一：

（Ⅰ）連結C交BC于O，則O是B C的中點，連結DO。

∵在△AC中，O、D均為中點，

∴A∥DO…………………………2分

∵A平面BD，DO平面BD，

∴A∥平面BD�！�4分

（Ⅱ）設正三棱柱底面邊長為2，則DC = 1。

    ∵∠DC = 60°，∴C= 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC

作EF⊥B于F，連結DF，則 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角………………8分

在Rt△DEC中，DE=

在Rt△BFE中，EF = BE?sin

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－B－C的大小為arctan………………12分

解法二：以AC的中D為原點建立坐標系，如圖，

設| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = 。

     則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），

（1，0）， ，

（Ⅰ）連結C交B于O是C的中點，連結DO，則     

     O.       =

∵A平面BD，

∴A∥平面BD.………………………………………………4分

（Ⅱ）=（-1，0，），

       設平面BD的法向量為n = （ x , y , z ），則

       即  則有= 0令z = 1

則n = （，0，1）          …………………………………8分

       設平面BC的法向量為m = ( x′ ,y′，z′)

 

′

′

′

′

      令y = -1，解得m = （，-1，0）

      二面角D ―B―C的余弦值為cos＜n , m＞＝

∴二面角D―B―C的大小為arc cos               …………１２分

20、解: 解：

     （1）f(x)=x3+ax2+bx+c,    f′(x)=3x2+2ax+b,

         由f′(-)=a+b=0,   f′(1)=3+2a+b=0,得

         a=－，b=－2，…………  ３分

f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），函數f（x）的單調區間如下表：

ｘ

（-∞，－）

－

（－，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

－

0

+

f（x）

 

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

所以函數f（x）的遞增區間為（－∞，－）與（1，+∞）；

遞減區間為（－，1）.　　　　　　　　　　　　 …………  ６分

（2）f（x）=x3-x2-2x+c  x∈［-1，2］，當x=-時，f（x）=+c為極大值，

而f（2）=2+c，則f（2）=2+c為最大值. 　　　　　…………  ８分

要使f（x）＜c2（x∈［-1，2］）恒成立，只須c2＞f（2）=2+c，

解得c＜－1或c＞2. 　　　　　　　　　　　　　　…………  12分

21、（I）解：方程的兩個根為，，

當時，，所以；

當時，，，所以；

當時，，，所以時；

當時，，，所以．      …………  4分

（II）解：

．                          …………  8分

（Ⅲ）=                       …………  12分

22、解： （I）依題意知,點的軌跡是以點為焦點、直線為其相應準線,

離心率為的橢圓

設橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,

又，，∴點在x軸上,且,且則3

解之得：,     ∴坐標原點為橢圓的對稱中心 

∴動點M的軌跡方程為：        …………  4分

（II）設,設直線的方程為,代入得

                   ………… 5分

, 

    ………… 6分

,,

,

 

解得: (舍)   ∴ 直線EF在X軸上的截距為    …………8分

（Ⅲ）設,由知, 

直線的斜率為    ………… 10分

當時,;

當時,,

時取“=”）或時取“=”），

             ………… 12分            

綜上所述                  ………… 14分 

 

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