題目列表(包括答案和解析)
如圖，在面積為4的正方形ABCD中，連接各邊中點得正方形A1B1C1D1，此時正方形A1B1C1D1的面積記作a1；再連接正方形A1B1C1D1各邊中點得正方形A2B2C2D2，此時正方形A2B2C2D2的面積記作a2；…；如此繼續下去，得到一個數列{an}．在
中，滿足
,
是
邊上的一點.
（Ⅰ）若
,求向量
與向量
夾角的正弦值；
（Ⅱ）若
，
=m (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求
值；
（Ⅲ）若
且
求
的最小值。
【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為
，則
令=
，得
，又
，則
為所求
第二問因為，=m所以
，
（1）當
時，則
=
（2）當
時，則
=
第三問中，解：設
,因為
，；
所以
即
于是
得
從而
運用三角函數求解。
（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則
令=，得，又，則為所求……………2分
(Ⅱ)解：因為，=m所以，
（1）當時，則
=；-2分
（2）當時，則=；--2分
（Ⅲ）解：設,因為，；
所以即于是得
從而---2分
=
=
=
…………………………………2分
令
，
則
，則函數
，在
遞減，在
上遞增，所以
從而當
時，
計算
，可以采用以下方法：
構造恒等式
，兩邊對x求導，
得
，在上式中令
，得
．類比上述計算方法，
計算
．
計算
，可以采用以下方法：構造等式：
，兩邊對x求導，得
，在上式中令
，得
．類比上述計算方法，計算
．
，
．
，求x的值；
，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
，判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由．
1.（1）因為
，所以
又
是圓O的直徑，所以
又因為
（弦切角等于同弧所對圓周角）
所以
所以
又因為
，所以
相似
所以
，即
（2）因為
，所以
，
因為
，所以
由（1）知：
。所以
所以
，即圓的直徑
又因為
，即
解得
2.依題設有：
令
，則
3.將極坐標系內的問題轉化為直角坐標系內的問題
點
的直角坐標分別為
故
是以
為斜邊的等腰直角三角形，
進而易知圓心為
，半徑為
，圓的直角坐標方程為
，即
將
代入上述方程，得
，即
4.假設
，因為
，所以
。
又由
，則
，
所以
，這與題設矛盾
又若
，這與矛盾
綜上可知，必有
成立
同理可證
也成立
命題成立
5. 解：由a1=S1,k=
.下面用數學歸納法進行證明.
1°.當n=1時，命題顯然成立；
2°.假設當n=k(k
N*)時，命題成立,
即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,
則n=k+1時，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）
=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）
即命題對n=k+1.成立
由1°, 2°，命題對任意的正整數n成立.
6.（1）因為
，
，
，所以
故事件A與B不獨立。
（2）因為
所以
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