已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多．該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：
①若把家到學校的距離分為五個區間：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如圖所示的頻率分布直方圖；
②走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系．下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表．

下午開始上課時間	1：30	1：40	1：50	2：00	2：10
平均每天午休人數	250	350	500	650	750

（Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程（單位：里）在[2，6）的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試列出x與y的統計表，并根據表中的數據求平均每天午休人數

y

與上課時間x之間的線性回歸方程

y

=bx+a；
（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？
（注：線性回歸直線方程系數公式b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

．）

某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多．該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：
①若把家到學校的距離分為五個區間：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如圖所示的頻率分布直方圖；
②走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系．下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表．

下午開始上課時間	1：30	1：40	1：50	2：00	2：10
平均每天午休人數	250	350	500	650	750

（Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程（單位：里）在[2，6）的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試列出x與y的統計表，并根據表中的數據求平均每天午休人數與上課時間x之間的線性回歸方程=bx+a；
（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？

某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多．該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：
①若把家到學校的距離分為五個區間：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如圖所示的頻率分布直方圖；
②走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系．下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表．

下午開始上課時間	1：30	1：40	1：50	2：00	2：10
平均每天午休人數	250	350	500	650	750

（Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程（單位：里）在[2，6）的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試列出x與y的統計表，并根據表中的數據求平均每天午休人數與上課時間x之間的線性回歸方程=bx+a；
（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？

已知向量=()， =()．

（1）當時，求的值。

（2）已知=，求的值。

【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算，以及構造角求解三角函數值的運用。

第一問中，利用

第二問中，結合第一問中 = 

然后，構造角得到結論。

解、（1）

（2）因為：

 = 

所以：          

因為：

 

=