題目列表(包括答案和解析)
．(本小題滿分12分)
有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側面(編號為①②③④⑤⑥)上安裝5只顏色各異的燈，假若每只燈正常發光的概率為0.5，若一個側面上至少有3只燈發光，則不需要更換這個面，否則需要更換這個面，假定更換一個面需要100元，用
表示更換的面數，用
表示更換費用。
(1)求①號面需要更換的概率；
(2)求6個面中恰好有2個面需要更換的概率；
(3)寫出的分布列，求的數學期望。
（本小題滿分12分）
一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B ，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數1時，從B口得到
，記為
；②當從A口輸入自然數
時，在B口得到的結果
是前一個結果
的
倍.
（1）當從A口分別輸入自然數2 ，3 ，4 時，從B口分別得到什么數？試猜想的關系式，并證明你的結論；
（2）記
為數列
的前
項的和。當從B口得到399的倒數時，求此時對應的的值.
（本小題滿分12分）
一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B ，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數1時，從B口得到
，記為
；②當從A口輸入自然數
時，在B口得到的結果
是前一個結果
的
倍.
（1）當從A口分別輸入自然數2 ，3 ，4 時，從B口分別得到什么數？試猜想的關系式，并證明你的結論；
（2）記
為數列
的前
項的和。當從B口得到399的倒數時，求此時對應的的值.
（本小題滿分12分）
一種信號燈，只有符號“√”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“√”和“×”兩者之一，其中出現“√”的概率為
，出現“×”的概率為
，若第
次出現“√”，記為
，若第次出現“×”，則記為
，令
，
（1）求
的概率；
（2）求
，且
的概率．
（本小題滿分12分）一列火車在平直的鐵軌上勻速行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度v(t)=5-t+
(單位：m/s)緊急剎車至停止。求：（1）從開始緊急剎車至火車完全停止所經過的時間；（2）緊急剎車后火車行駛的路程。
一．選擇題：DABBB ACACA
解析：1：由題干可得：
故選
.
2：
為拋物線
的內部（包括周界），
為動圓
的內部（包括周界）.該題的幾何意義是
為何值時，動圓進入區域
，并被所覆蓋.
是動圓圓心的縱坐標，顯然結論應是
，故可排除
，而當
時，
（可驗證點
到拋物線上點的最小距離為
）.故選
.
3：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B.
4：取a＝100，b＝10，此時P＝
，Q＝
＝lg
，R＝lg55＝lg
，比較可知選P
QR，所以選B
5： f(x＋
)＝sin[
－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應選B；
6：在同一直角坐標系中作出圓x
＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內，所以選A.
7：不等式的“極限”即方程，則只需驗證x=2，2.5，
和3哪個為方程
的根，逐一代入，選C.
8：當正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態，此時棱錐相鄰兩側面所成二面角α→π，且小于π；當棱錐高無限大時，正n棱柱便又是另一極限狀態，此時α→
π，且大于π，故選（A）.
9：取滿足題設的特殊函數f(x)=x，g(x)=|x|,則f(b)-f(-a)=a+b，g(a)-g(-b)=a-b，又f(a)-f(-b)=a+b，g(b)-g(-a)=b-a；∴選(C).
10:作直線和圓的圖象,從圖中可以看出:
的取值范圍應選(A).
二．填空題：11、
；
12、
；
13、
；
14、(x－1)2＋(y－1)2＝2；15、
；
解析：
11：根據不等式解集的幾何意義，作函數
和
函數
的圖象（如圖），從圖上容易得出實數a的取
值范圍是。
12： 應用復數乘法的幾何意義，得
，
于是 
故應填
13：中獎號碼的排列方法是： 奇位數字上排不同的奇數有
種方法，偶位數字上排偶數的方法有
，從而中獎號碼共有
種，于是中獎面為
故應填
14：解：由
得
=
，
，化簡得(x－1)2＋(y－1)2＝2
15.解：依題意，
=2，
5，
=15，
=
三．解答題：
16.解：（1）由
，解之得
……………………5分
（2）
…………………………9分
…………………………11分
…………………………12分
17.解：（I）
的取值為1，3，又
|
…………12分
是奇函數，則
∴
…………………………2分
得
解得
， ∴
，
………………6分
時
，
…………………………8分
，即函數
上為減函數． …………………………9分
得
…………………………11分
，
，∴
，
上為增函數 …………………………13分
取得最小值
. ………14分
―
的側棱長為
．取
中點
，連
．
是正三角形，
． …………………………2分
側面
，且交線為
側面
，則直線
．
……………………4分
中，
，解得
．
． …………………………5分
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系
．
． …………………………7分
為平面
的法向量．
得
． 
…………………………9分
的一個法向量
． 
的大小為
…………………………11分
…………………………12分
到平面
的距離
＝
，解得
，
∴
即
------------------------------2分
……………………………………………..4分
………………………………………………………..6分
……8分
；n=2時，
；n=4時，
；n=6時，
…………………………………………9分
時
下面用數學歸納法給出證明
，已證…………………………………………………….10分
時結論成立即
范圍內，
恒成立,則
，即
;當n=3時,
;當n=1或
)，F(0，
，
)，B(
，
)
，
，Q(
). …………………………2分
得
.
…………………………3分
÷p.
?
的取值范圍是
. …………………………4分
，求導得
.
=y 
.
即
.
…………………………6分
解得
∴N(
)
…………………………7分
. ∴
. …………………………9分
.又根據(Ⅰ)知
=(－pk，p)， 
.
…………………………11分
，|
|=
.
的取值范圍是［5
，20