題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當時
單調遞減;當
時
單調遞增,故當
時,
取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當
. 、
令則
當時,
單調遞增;當
時,
單調遞減.
故當時,
取最大值
.因此,當且僅當
時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當
時,
單調遞減;當
時,
單調遞增.故當
,
即
從而,
又
所以因為函數
在區間
上的圖像是連續不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.
如圖,已知直線(
)與拋物線
:
和圓
:
都相切,
是
的焦點.
(Ⅰ)求與
的值;
(Ⅱ)設是
上的一動點,以
為切點作拋物線
的切線
,直線
交
軸于點
,以
、
為鄰邊作平行四邊形
,證明:點
在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為
, 直線
與
軸交點為
,連接
交拋物線
于
、
兩點,求△
的面積
的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓:
的圓心為
,半徑
.由題設圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去)
設與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設,由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
第三問中,設直線,代入
得
結合韋達定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓:
的圓心為
,半徑
.由題設圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去). …………………(2分)
設與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
.
……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設,由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
上.…(2分)
(Ⅲ)設直線,代入
得
, ……)得
,
…………………………… (2分)
,
.
△
的面積
范圍是
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