（本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）

若數列滿足：是常數），則稱數列為二階線性遞推數列，且定義方程為數列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列的通項公式均可用特征根求得：

①若方程有兩相異實根，則數列通項可以寫成，（其中是待定常數）；

②若方程有兩相同實根，則數列通項可以寫成，（其中是待定常數）；

再利用可求得，進而求得．

根據上述結論求下列問題：

（1）當，（）時，求數列的通項公式；

（2）當，（）時，求數列的通項公式；

（3）當，（）時，記，若能被數整除，求所有滿足條件的正整數的取值集合．

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

(1)用x、y、z表示甲勝的概率；

(2)若又規定當甲取紅、黃、白球而勝的得分分別為1，2，3分，否則得0分．求甲得分的期望的最大值及此時x、y、z的值．