(2)①當時.由(1)知函數在上單調.無極值點; -------5分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數f(x)=ln(1+ax),g(x)=x2-ax,其中a為實數.
(Ⅰ)當a=2時,求函數y=f(x)+g(x)的極小值;
(Ⅱ)是否存在實數a,使得函數y=f(x)與函數y=g(x)在區間[1,+∞)上單調性相同?若存在,請求出實數a的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)若對任意的實數a∈(1,2),總存在一個與a無關的實數x1,且x1∈[
1
2
,1]
,使得f(x1)+g(x1)>m-
1
5
a2
恒成立,求實數m的取值范圍.

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 (注意:在試題卷上作答無效)

給出定義在(0,+∞)上的三個函數:,,已知在x=1處取極值.

(1)確定函數的單調性;

(2)求證:當時,恒有成立;

(3)把函數的圖象向上平移6個單位得到函數的圖象,試確定函數的零點個數,并說明理由.

 

 

 

 

 

 

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已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數的值; 

(Ⅱ)求在區間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

【解析】第一問當時,,則。

依題意得:,即    解得

第二問當時,,令,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

(Ⅰ)當時,,則。

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當時,,令

變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

,!上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0;

時, 上單調遞增!最大值為。

綜上,當時,即時,在區間上的最大值為2;

時,即時,在區間上的最大值為。

(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時,

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數,曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

 

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