題目列表(包括答案和解析)
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點,且.
(Ⅰ)求證:CN∥平面AMB1;
(Ⅱ)求證: B1M⊥平面AMG.
【解析】本試題主要是考查了立體幾何匯總線面的位置關系的運用。第一問中,要證CN∥平面AMB1;,只需要確定一條直線CN∥MP,既可以得到證明
第二問中,∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,得到線線垂直,B1M⊥AG,結合線面垂直的判定定理和性質定理,可以得證。
解:(Ⅰ)設AB1 的中點為P,連結NP、MP ………………1分
∵CM
,NP
,∴CM
NP, …………2分
∴CNPM是平行四邊形,∴CN∥MP …………………………3分
∵CN 平面AMB1,MP奐 平面AMB1,∴CN∥平面AMB1…4分
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1 B1 B,∴B1M⊥AG………………6分
∵CC1⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1 C,
設:AC=2a,則
…………………………8分
同理,…………………………………9分
∵ BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
………………………………10分
如圖,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BD
AE,BD
BA,AE=2BD=4,O、M分別為CE、AB的中點.
(Ⅰ)證明:OD//平面ABC;
(Ⅱ)能否在EM上找一點N,使得ON⊥平面ABDE?若能,請指出點N的位置,并加以證明;若不能,請說明理由.
【解析】第一問:取AC中點F,連結OF、FB.∵F是AC的中點,O為CE的中點,
∴OF∥EA且OF=且BD=
∴OF∥DB,OF=DB,
∴四邊形BDOF是平行四邊形。
∴OD∥FB
第二問中,當N是EM中點時,ON⊥平面ABDE。 ………7分
證明:取EM中點N,連結ON、CM, AC=BC,M為AB中點,∴CM⊥AB,
又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE面ABC=AB,CM
面ABC,
∴CM⊥面ABDE,∵N是EM中點,O為CE中點,∴ON∥CM,
∴ON⊥平面ABDE。
如圖,已知直線(
)與拋物線
:
和圓
:
都相切,
是
的焦點.
(Ⅰ)求與
的值;
(Ⅱ)設是
上的一動點,以
為切點作拋物線
的切線
,直線
交
軸于點
,以
、
為鄰邊作平行四邊形
,證明:點
在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為
, 直線
與
軸交點為
,連接
交拋物線
于
、
兩點,求△
的面積
的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓:
的圓心為
,半徑
.由題設圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去)
設與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設,由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
第三問中,設直線,代入
得
結合韋達定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓:
的圓心為
,半徑
.由題設圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去). …………………(2分)
設與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
.
……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設,由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
上.…(2分)
(Ⅲ)設直線,代入
得
, ……)得
,
…………………………… (2分)
,
.
△
的面積
范圍是
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