題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
某企業生產A，B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．
(1)分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
(2)已知該企業已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產．
①若平均投入生產兩種產品，可獲得多少利潤？
②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？
（（本小題滿分12分）
某洗衣機生產廠家有
A、B兩種型號的洗衣機參加家電下鄉活動
。若廠家投放A、B型號洗衣機的價值分別為
萬元，農民購買獲得的補貼分別為
萬元。已知廠
家把總價值為10萬元的A、B兩種型號洗衣機投放市場，且A、B兩型號的洗衣機投放金額都不低于1萬元，請你制定一個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，并求出其最大值（精確到
，參考數據：
）
（本小題滿分12分）
某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數：
其中
是儀器的月產量.
（1）將利潤表示為月產量的函數
；
（2）當月產量為何值時，公司所獲得利潤最大？最大利潤是多少？
(本小題滿分12分）
某工廠生產一種精密儀器， 產品是否合格需先后經過兩道相互獨立的工序檢查，且當第一道工序檢查合格后才能進入到第二道工序，經長期檢測發現，該儀器第一道工序檢查合格的概率為
，第二道工序檢查合格的概率為
，已知該廠每月生產3臺這種儀器.
（1）求生產一臺合格儀器的概率;
（2）用
表示每月生產合格儀器的臺數，求的分布列和數學期望;
（3）若生產一臺合格儀器可盈利10萬元，不合格要虧損3萬元，求該廠每月的期望盈利額.
（本小題滿分12分）某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的
限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率
與日產量
（萬件）之間滿足關系：
（其中
為小于6的正常數）（注：次品率=次品數/生產量，如
表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）
已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量.
（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額
(
萬元）表示為日產量（萬件）的函數；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.
1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．D 10．D 11．B 12．D
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13．
14．±2 15．
16．40
三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．解：
，聯合
得
，即
當
時，
當
時，
∴當
時，
當
時，
18．解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.
（1）連結AC1，AB1.
由直三棱柱的性質得AA1⊥平面A1B
所以AA1⊥A1B1，則四邊形ABB
由矩形性質得AB1過A1B的中點M.
在△AB
又AC1
平面ACC
平面ACC
所以MN//平面ACC
（2）因為BC⊥平面ACC平面ACC
所以BC⊥AC1.
在正方形ACC
又因為BC∩A
由MN//AC1，得MN⊥平面A1BC.
（3）由題意CB，CA，CC1兩兩垂直，故可以C為的點，
CB，CA，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
又AC = BC = CC1 = a，
則
則AB中點E的坐標為
，
為平面AA1B的法向量.
又AC1⊥平面A1BC，故
為平面A1BC的法向量
設二面角A―A1B―C的大小為θ，
則
由題意可知，θ為銳角，所以θ= 60°，即二面角A―A1B―C為60°
19．解：（1）每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的.
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是
.
（2）由題設，必須整改的煤礦數
服從二項分布B(5,0.5).從而的數學期望是
E＝
，即平均有2.50家煤礦必須整改.
（3）某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，所以該煤礦被關閉的概率是
，從而該煤礦不被關閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是
20．（1）依題意，點
的坐標為
，可設
，
直線
的方程為
，與
聯立得
消去
得
．
由韋達定理得
，
．
于是
．
，
當
，
．
（2）假設滿足條件的直線
存在，其方程為
，
設
的中點為
，與為直徑的圓相交于點
，
的中點為
，
則
，
點的坐標為
．
，
，
，
．
令
，得
，此時
為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為
，即拋物線的通徑所在的直線．
21．解：（1）當
時，
，
∵
，∴
在
上是減函數.
（2）∵
不等式
恒成立，即不等式
恒成立，
∴不等式
恒成立. 當
時， 
不恒成立；
當
時，不等式恒成立，即
，∴
.
當
時，不等式
不恒成立. 綜上，
的取值范圍是
.
22．解：（1）∵ 
的橫坐標構成以
為首項，
為公差的等差數列
∴ 
.
∵ 
位于函數
的圖象上,
∴ 
,
∴ 點的坐標為
.
（2）據題意可設拋物線
的方程為：
,
即
．
∵ 拋物線過點
（0，
）,
∴ 
,
∴ 
∴ 
．
∵ 過點且與拋物線只有一個交點的直線即為以為切點的切線，
∴ 
．
∴ 
（
），
∴ 
∴ 
．
（3）∵ 
，
∴ 
中的元素即為兩個等差數列
與
中的公共項，它們組成以
為首項，以
為公差的等差數列．
∵ 
，且
成等差數列，
是中的最大數，
∴ 
，其公差為
．
當
時，
，
此時
∴ 不滿足題意，舍去．
當
時，
，
此時
，
∴ 
．
當
時，
．
此時
， 不滿足題意，舍去．
綜上所述，所求通項為．
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