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（本小題滿分12分）
某市有A、B兩所示范高中響應政府號召，對該市甲、乙兩個教育落后地區開展支教活動．經上級研究決定：向甲地派出3名A校教師和2名B校教師，向乙地派出3名A校教師和3名B校教師．由于客觀原因，需從擬派往甲、乙兩地的教師中各自任選一名互換支教地區．
（Ⅰ）求互換后兩校派往兩地區教師人數不變的概率；
（Ⅱ）求互換后A校教師派往甲地人數的分布列和數學期望．

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                   高三數學試卷（文科）                 2009.4   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 36         10. 10        11. 2, 8      12.      13.        14. 5, 2     

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理，                       ----------------------------3分

得.                                 ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角為銳角，所以，          ----------------------------7分

則     --------------------------10分

   .

        所以.                             ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發言” 為事件A.   -----------------------------1分     

由題意，得事件A的概率，              

即2次匯報活動都是由小組成員甲發言的概率為.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

                                                               ----------------------------6分

      記“男生發言次數不少于女生發言次數”為事件B，

由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：

1事件B₁：男生發言2次女生發言0次，其概率為

，             ----------------------------8分

2事件B₂：男生發言1次女生發言1次，其概率為

，           ----------------------------10分

所以，男生發言次數不少于女生發言次數的概率為.

   ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內的射影，

     為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA與平面ABCD所成角的大小為.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內的射影，

       為PA與平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

         則, ，                    

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA與平面ABCD所成角的大小為.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）過C作于M，連接BM，設，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                        --------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：因為，

      所以當時，，解得，           ---------------------------2分

          當時，，即，解得，

      所以，解得；                                 ---------------------------5分

則，數列的公差，

所以.                            ---------------------------8分

（Ⅱ）因為

                     ---------------------------9分

        ---------------------------12分

.                       

因為，

所以 .                          -------------------------14分

        注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應評分.

19.（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：設A(x₁, y₁)，

因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，

所以，解得，                              -------------------------1分

又因為點A(x₁, y₁)在橢圓C上，

所以，即，解得，

 則點A的坐標為或，                      -------------------------3分

所以直線l的方程為，或.    -------------------------5分

   （Ⅱ）設A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，則

所以，

         則，                   -------------------------7分

         當直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；

-------------------------8分

當直線AB的斜率存在時，設其方程為，

   由題設可得A、B的坐標是方程組的解，

   消去y得，

   所以，       -------------------------10分

   則，

   所以，

   當時，等號成立, 即此時取得最大值1.    -------------------------13分

綜上，當直線AB的方程為或時，有最大值1.  -------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：當時，，

因為，

所以，函數的圖象不能總在直線的下方.          ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由題意，得，

令，解得或，                     --------------------------4分

當時，由，解得，

所以在上是增函數，與題意不符，舍去；

當時，由，與題意不符，舍去；     --------------------------6分

當時，由，解得，

所以在上是增函數，

又在(0，2)上是增函數，

              所以，解得，

綜上，a的取值范圍為.                            ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因為方程最多只有3個根，

      由題意，得在區間內僅有一根，

      所以，           1

同理，           2       --------------------------11分

當時，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因為，所以，即；

當時，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因為，所以，即；

當時，因為，所以有一根0，這與題意不符.

綜上，.                                          ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標平面aOb內，用線性規劃方法解. 請相應評分.