題目列表(包括答案和解析)
如圖,,
,…,
,…是曲線
上的點,
,
,…,
,…是
軸正半軸上的點,且
,
,…,
,…
均為斜邊在
軸上的等腰直角三角形(
為坐標原點).
(1)寫出、
和
之間的等量關系,以及
、
和
之間的等量關系;
(2)求證:(
);
(3)設,對所有
,
恒成立,求實數
的取值范圍.
【解析】第一問利用有,
得到
第二問證明:①當時,可求得
,命題成立;②假設當
時,命題成立,即有
則當
時,由歸納假設及
,
得
第三問
.………………………2分
因為函數在區間
上單調遞增,所以當
時,
最大為
,即
解:(1)依題意,有,
,………………4分
(2)證明:①當時,可求得
,命題成立;
……………2分
②假設當時,命題成立,即有
,……………………1分
則當時,由歸納假設及
,
得.
即
解得(
不合題意,舍去)
即當時,命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對所有,
. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因為函數在區間
上單調遞增,所以當
時,
最大為
,即
.……………2分
由題意,有.
所以,
已知函數 R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意
恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
第一問中,利用當時,
.
因為切點為(
),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當時,
.
,
因為切點為(),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以
恒成立,
故在
上單調遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當時,
在
上恒成立,
故在
上單調遞增,
即
.
……10分
(2)當時,令
,對稱軸
,
則在
上單調遞增,又
① 當,即
時,
在
上恒成立,
所以在
單調遞增,
即
,不合題意,舍去
②當時,
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知,函數
(1)當時,求函數
在點(1,
)的切線方程;
(2)求函數在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個實數x0,使
>g(xo)成立,求正實數
的取值范圍。
【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。(1)中,那么當
時,
又
所以函數
在點(1,
)的切線方程為
;(2)中令
有
對a分類討論,和
得到極值。(3)中,設
,
,依題意,只需
那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當時,
又
∴ 函數在點(1,
)的切線方程為
--------4分
(Ⅱ)令 有
①
當即
時
|
(-1,0) |
0 |
(0, |
|
( |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
,極小值是
②
當即
時,
在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則
的極大值為
,無極小值。
綜上所述 時,極大值為
,無極小值
時 極大值是
,極小值是
----------8分
(Ⅲ)設,
對求導,得
∵,
∴ 在區間
上為增函數,則
依題意,只需,即
解得 或
(舍去)
則正實數的取值范圍是(
,
)
已知遞增等差數列滿足:
,且
成等比數列.
(1)求數列的通項公式
;
(2)若不等式對任意
恒成立,試猜想出實數
的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中,利用設數列公差為
,
由題意可知,即
,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于
,利用當
時,
;當
時,
;而
,所以猜想,
的最小值為
然后加以證明即可。
解:(1)設數列公差為
,由題意可知
,即
,
解得或
(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當時,
;當
時,
;
而,所以猜想,
的最小值為
. …………8分
下證不等式對任意
恒成立.
方法一:數學歸納法.
當時,
,成立.
假設當時,不等式
成立,
當時,
,
…………10分
只要證 ,只要證
,
只要證 ,只要證
,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:單調性證明.
要證
只要證 ,
設數列的通項公式
, …………10分
, …………12分
所以對,都有
,可知數列
為單調遞減數列.
而,所以
恒成立,
故的最小值為
.
設橢圓 :
(
)的一個頂點為
,
,
分別是橢圓的左、右焦點,離心率
,過橢圓右焦點
的直線
與橢圓
交于
,
兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得
,若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關系的運用。(1)中橢圓的頂點為,即
又因為
,得到
,然后求解得到橢圓方程(2)中,對直線分為兩種情況討論,當直線斜率存在時,當直線斜率不存在時,聯立方程組,結合
得到結論。
解:(1)橢圓的頂點為,即
,解得
,
橢圓的標準方程為
--------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當直線斜率不存在時,經檢驗不合題意. --------5分
②當直線斜率存在時,設存在直線為
,且
,
.
由得
, ----------7分
,
,
=
所以,
----------10分
故直線的方程為
或
即或
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com