如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率。過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8

（Ⅰ）求橢圓E的方程。

（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q。試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由

【解析】

 已知、，橢圓C的方程為，、分別為橢圓C的兩個焦點，設為橢圓C上一點，存在以為圓心的與外切、與內切

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點作斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點，與軸相交于點D，若

求的值；

（Ⅲ）已知真命題：“如果點T（）在橢圓上，那么過點T

的橢圓的切線方程為=1.”利用上述結論，解答下面問題：

已知點Q是直線上的動點，過點Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，

M、N為切點，問直線MN是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由。

（12分）圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統稱為有心圓錐曲線，它們統一的標準方程為.圓的很多優美性質可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：已知直線與曲線：交于兩點，的中點為，若直線和(為坐標原點)的斜率都存在，則.這個性質稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：

①     過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程；

②     過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，=是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：為定值；
（3）對于雙曲線Γ：，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線及它的左頂點；
情形二：拋物線y²=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓及它的頂點．