已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，P為C上的任意點．
（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；
（2）設點A的坐標為（3，0），求|PA|的最小值．

已知雙曲線C：

x2

2

-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點M的坐標為（0，1）．設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點．記λ=

MP

•

MQ

．求λ的取值范圍；
（3）已知點D，E，M的坐標分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內的點．記l為經過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數．

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為

2 3

3

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設P（x₀，y₀）是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，求

MP

•

MQ

的取值范圍．

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右焦點分別是F₁、F₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求動點P的軌跡E的過程．
（2）設過點F₂且不垂直與坐標軸的動直線a交軌跡E與A、B兩點，試問在y軸上是否存在一點D使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，試判斷點D的活動范圍：若不存在，試說明理由．