題目列表(包括答案和解析)
（本大題18分）
閱讀下面所給材料：已知數列{an}，a1=2，an=3an–1+2，求數列的通項an。
解：令an=an–1=x，則有x=3x+2，所以x= –1，故原遞推式an=3an–1+2可轉化為：
an+1=3（an–1+1），因此數列{an+1}是首項為a1+1，公比為3的等比數列。
根據上述材料所給出提示，解答下列問題：
已知數列{an}，a1=1，an=3an–1+4，
（1）求數列的通項an；并用解析幾何中的有關思想方法來解釋其原理；
（2）若記Sn=
，求
Sn;
（3）若數列{bn}滿足：b1=10，bn+1=100
，利用所學過的知識，把問題轉化為可以用閱讀材料的提示，求出解數列{bn}的通項公式bn。
已知數列
中，
，
，數列
中，
，且點
在直線
上。
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前
項和
；
（3）若
，求數列
的前項和
；
【解析】第一問中利用數列的遞推關系式
，因此得到數列的通項公式；
第二問中，在 即為：
即數列是以
的等差數列
得到其前n項和。
第三問中， 又 
，利用錯位相減法得到。
解：（1）
即數列
是以
為首項，2為公比的等比數列
……4分
（2）在 即為：
即數列是以的等差數列
……8分
（3） 又
① 
②
①- ②得到
在本次數學期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：
（1）選擇題得滿分(50分)的概率；
（2）選擇題所得分數
的數學期望。
【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為
，有1道題答對的概率為
，還有1道答對的概率為
，
所以得分為50分的概率為： 
第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為
得分為40分的概率為：
同理求得，得分為45分的概率為：
得分為50分的概率為：
得到分布列和期望值。
解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，
所以得分為50分的概率為： …………5分
（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝ …………6分
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為： …………8分
同理求得，得分為45分的概率為：
…………9分
得分為50分的概率為：
…………10分
所以得分的分布列為
|
|
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
|
|
|
|
數學期望
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
如圖所示的長方體
中，底面
是邊長為
的正方形，
為
與
的交點，
，
是線段
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用
，又
平面，
平面，∴平面由
，
，又
，∴平面．
可得證明
（3）因為∴
為面
的法向量．∵
，
，
∴
為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，
，
∴
與
的夾角為
，即二面角的大小為．
方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接
，則點
、
，
∴，又點
，
，∴
∴
，且
與
不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．…………………4分
（Ⅱ）∵
，
∴，，即，，
又，∴平面． ………8分
（Ⅲ）∵
，
，∴
平面，
∴為面的法向量．∵，，
∴為平面的法向量．∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為
專題一數與式的運算參考答案
例1 （1）解法1：由
，得
；
①若
，不等式可變為
，即
； ②若
，不等式可變為
，即
，解得：
．綜上所述，原不等式的解為
．
解法2： 
表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式
的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側，在坐標為1的點的右側．所以原不等式的解為．
解法3：
，所以原不等式的解為．
（2）解法一：由
，得
；由
，得
；
①若
，不等式可變為
，即
＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若
，不等式可變為
，即1＞4，∴不存在滿足條件的x；
③若
，不等式可變為
，即
＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．
解法二：如圖，
表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式
＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，
可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側．
所以原不等式的解為x＜0，或x＞4．
例2（1）解：原式=
說明：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列．
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
例3解：
原式=
例4解：
原式=
①
②，把②代入①得原式=
例5解：（1）原式=
（2）原式=
說明：注意性質
的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論．
（3）原式=
（4） 原式=
例6解：
原式=
說明：有關代數式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．
【鞏固練習】
1．
2． 
3．
或
4．
5．
6．
專題二因式分解答案
例1分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2)
中提取公因式后，括號內出現
，可看著是
或
．
解：(1) 
．
(2) 
例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式．
解：
（2）分析：先將系數2提出后，得到
，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續分解因式．
解：
例5 解： 
【鞏固練習】
1．
．
2．
；
3．
其他情況如下：
；
.
4．
專題三一元二次方程根與系數的關系習題答案
例1解：∵
，∴(1)
； (2) 
； (3) 
；(4)
．
例2解：可以把所給方程看作為關于
的方程，整理得：
由于是實數，所以上述方程有實數根，因此：
，
代入原方程得：
．綜上知：
例3解：由題意，根據根與系數的關系得：
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：
，
，
，
等等．韋達定理體現了整體思想．
【鞏固練習】
1． A； 2．A； 3．
； 4．
； 5． 
(1)當
時，方程為
，有實根；(2) 當
時，
也有實根．6．(1) 
； (2) 
．
專題四 平面直角坐標系、一次函數、反比例函數參考答案
例1 解：(1)因為
、
關于x軸對稱，它們橫坐標相同，縱坐標互為相反數，所以
，
，則
、
．
(2)因為、關于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數，縱坐標相同，所以，
，
，則
、
．
(3)因為、關于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數，所以，，則、．
例2分析：因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b＝2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過第二象限，所以A點坐標為（－2，0），由A、B兩點坐標可求出此一次函數的表達式。
解：∵B是直線y＝kx＋2與y軸交點，∴B（0，2），∴OB＝2，
，過第二象限，
【鞏固練習】
1． B
2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)． 3．（1）
．（2）點
的坐標是
或
．
專題五二次函數參考答案
例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；
當x＝－1時，函數y取最大值y＝4；
當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減�。�
采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B
和C
，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．
說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．
例2 分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值．
解：由于y是x的一次函數，于是，設y＝kx＋（B），將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
設每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，
∴當x＝160時，z取最大值1600．
答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．
例3 分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論．
解：（1）當a＝－2時，函數y＝x2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；
（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝a時，函數取最小值y＝a2；
（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝0時，函數取最小值y＝0；
（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數取最大值y＝a2；當x＝0時，函數取最小值y＝0．
說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題．
例4（1）分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件――最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a．
解：∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數的解析式為
，∵二次函數的圖像經過點（3，－1），∴
，解得a＝－2．
∴二次函數的解析式為
，即y＝－2x2＋8x－7．
說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．
（2） 分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式．
解法一：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展開，得 y＝ax2＋2ax－
，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－
．所以，二次函數的表達式為y＝
，或y＝－
．
分析二：由于二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式．
解法二：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設二次函數為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－
，或a＝．所以，所求的二次函數為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．
（3）解：設該二次函數為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數為y＝－2x2＋12x－8．
【鞏固練習】
1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2＋2x＋3
3．（1）
．（2）
．
（3）
．（4）
4．當長為
5．（1）函數f（x）的解析式為
（2）函數y的圖像如圖所示
（3）由函數圖像可知，函數y的取值范圍是0＜y≤2．
專題六二次函數的最值問題參考答案
例1分析：由于函數
和
的自變量x的取值范圍是全體實數，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數有最大值或最小值．
解：（1）因為二次函數
中的二次項系數2＞0，所以拋物線有最低點，即函數有最小值．因為=
，所以當
時，函數有最小值是
．
（2）因為二次函數
同步練習冊答案
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