題目列表(包括答案和解析)
約定:Δ=b2-4ac,a≠0,x1＜x2.?
Δ的符號 | a的符號
| ax2+bx+c＞0 | ax2+bx+c＜0 | ||
解 集 | 圖 象 | 解 集 | 圖 象 | ||
Δ＜0
| a＞0 |
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a＜0 |
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Δ=0
| a＞0 |
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a＜0 |
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Δ＞0
| a＞0 |
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a＜0 |
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| |
若x1、x2是關于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數a、b、c有如下關系：x1＋x2＝－
，x1•x2＝
．把它稱為一元二次方程根與系數關系定理．如果設二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x1，0)，B(x2，0)．利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：
AB＝|x1－x2|＝
＝
＝
＝
．
參考以上定理和結論，解答下列問題：
設二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個交點A(x1，0)、B(x2，0)，拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．
(1)當△ABC為直角三角形時，求b2－4ac的值；
(2)當△ABC為等邊三角形時，求b2－4ac的值．
，x1•x2＝
．把它稱為一元二次方程根與系數關系定理．如果設二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x1，0)，B(x2，0)．利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：
＝
＝
＝
．
若實數m，n為關于x的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0的兩個實數根，則有Ax2＋Bx＋C＝A(x－m)(x－n)，由系數可得：m＋n＝－
，且m·n＝
．設x1，x2，x3為關于x的方程f(x)＝x3－ax2＋bx－c＝0，(a，b，c∈R)的三個實數根．
(1)寫出三次方程的根與系數的關系；即x1＋x2＋x3＝_________；x1x2＋x2x3＋x3x1＝_________；x1·x2·x3＝_________
(2)若a，b，c均大于零，試證明：x1，x2，x3都大于零
(3)若a∈Z，b∈Z，|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β處取得極值，且－1＜α＜β＜1，求方程f(x)＝0三個實根兩兩不相等時，實數c的取值范圍．
專題一數與式的運算參考答案
例1 （1）解法1：由
，得
；
①若
，不等式可變為
，即
； ②若
，不等式可變為
，即
，解得：
．綜上所述，原不等式的解為
．
解法2： 
表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式
的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側，在坐標為1的點的右側．所以原不等式的解為．
解法3：
，所以原不等式的解為．
（2）解法一：由
，得
；由
，得
；
①若
，不等式可變為
，即
＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若
，不等式可變為
，即1＞4，∴不存在滿足條件的x；
③若
，不等式可變為
，即
＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．
解法二：如圖，
表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式
＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，
可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側．
所以原不等式的解為x＜0，或x＞4．
例2（1）解：原式=
說明：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列．
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
例3解：
原式=
例4解：
原式=
①
②，把②代入①得原式=
例5解：（1）原式=
（2）原式=
說明：注意性質
的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論．
（3）原式=
（4） 原式=
例6解：
原式=
說明：有關代數式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．
【鞏固練習】
1．
2． 
3．
或
4．
5．
6．
專題二因式分解答案
例1分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2)
中提取公因式后，括號內出現
，可看著是
或
．
解：(1) 
．
(2) 
例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式．
解：
（2）分析：先將系數2提出后，得到
，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續分解因式．
解：
例5 解： 
【鞏固練習】
1．
．
2．
；
3．
其他情況如下：
；
.
4．
專題三一元二次方程根與系數的關系習題答案
例1解：∵
，∴(1)
； (2) 
； (3) 
；(4)
．
例2解：可以把所給方程看作為關于
的方程，整理得：
由于是實數，所以上述方程有實數根，因此：
，
代入原方程得：
．綜上知：
例3解：由題意，根據根與系數的關系得：
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：
，
，
，
等等．韋達定理體現了整體思想．
【鞏固練習】
1． A； 2．A； 3．
； 4．
； 5． 
(1)當
時，方程為
，有實根；(2) 當
時，
也有實根．6．(1) 
； (2) 
．
專題四 平面直角坐標系、一次函數、反比例函數參考答案
例1 解：(1)因為
、
關于x軸對稱，它們橫坐標相同，縱坐標互為相反數，所以
，
，則
、
．
(2)因為、關于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數，縱坐標相同，所以，
，
，則
、
．
(3)因為、關于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數，所以，，則、．
例2分析：因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b＝2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過第二象限，所以A點坐標為（－2，0），由A、B兩點坐標可求出此一次函數的表達式。
解：∵B是直線y＝kx＋2與y軸交點，∴B（0，2），∴OB＝2，
，過第二象限，
【鞏固練習】
1． B
2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)． 3．（1）
．（2）點
的坐標是
或
．
專題五二次函數參考答案
例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；
當x＝－1時，函數y取最大值y＝4；
當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減��；
采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B
和C
，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．
說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．
例2 分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值．
解：由于y是x的一次函數，于是，設y＝kx＋（B），將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
設每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，
∴當x＝160時，z取最大值1600．
答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．
例3 分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論．
解：（1）當a＝－2時，函數y＝x2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；
（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝a時，函數取最小值y＝a2；
（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝0時，函數取最小值y＝0；
（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數取最大值y＝a2；當x＝0時，函數取最小值y＝0．
說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題．
例4（1）分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件――最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a．
解：∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數的解析式為
，∵二次函數的圖像經過點（3，－1），∴
，解得a＝－2．
∴二次函數的解析式為
，即y＝－2x2＋8x－7．
說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．
（2） 分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式．
解法一：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展開，得 y＝ax2＋2ax－
，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－
．所以，二次函數的表達式為y＝
，或y＝－
．
分析二：由于二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式．
解法二：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設二次函數為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－
，或a＝．所以，所求的二次函數為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．
（3）解：設該二次函數為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數為y＝－2x2＋12x－8．
【鞏固練習】
1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2＋2x＋3
3．（1）
．（2）
．
（3）
．（4）
4．當長為
5．（1）函數f（x）的解析式為
（2）函數y的圖像如圖所示
（3）由函數圖像可知，函數y的取值范圍是0＜y≤2．
專題六二次函數的最值問題參考答案
例1分析：由于函數
和
的自變量x的取值范圍是全體實數，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數有最大值或最小值．
解：（1）因為二次函數
中的二次項系數2＞0，所以拋物線有最低點，即函數有最小值．因為=
，所以當
時，函數有最小值是
．
（2）因為二次函數
同步練習冊答案
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