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專題一數與式的運算參考答案

例1 （1）解法1：由，得；

①若，不等式可變為，即； ②若，不等式可變為，即，解得：．綜上所述，原不等式的解為．

解法2： 表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側，在坐標為1的點的右側．所以原不等式的解為．

解法3：，所以原不等式的解為．

（2）解法一：由，得；由，得；

①若，不等式可變為，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變為，即1＞4，∴不存在滿足條件的x；

③若，不等式可變為，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．

綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．

解法二：如圖，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．

所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，

可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側．

所以原不等式的解為x＜0，或x＞4．

例2（1）解：原式=

說明：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列．

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

例3解：    

原式=

例4解：

原式=  ①

 ②，把②代入①得原式=

例5解：（1）原式=

        （2）原式=

說明：注意性質的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論．

（3）原式=

（4） 原式=

例6解：

原式=

說明：有關代數式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．

【鞏固練習】

 1．   2．     3．或          4．

  5．   6．

專題二因式分解答案

例1分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內出現，可看著是或．

解：(1) ．

(2)  

例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式．

解：

（2）分析：先將系數2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續分解因式．

解：

例5  解：

【鞏固練習】

1．

．

2．；    

3．  

其他情況如下：；

.

4．

專題三一元二次方程根與系數的關系習題答案

例1解：∵，∴(1) ； (2) ；  (3) ；(4)．

例2解：可以把所給方程看作為關于的方程，整理得：

由于是實數，所以上述方程有實數根，因此：，

代入原方程得：．綜上知：

例3解：由題意，根據根與系數的關系得：

(1)

(2)

(3)

(4)

說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，等等．韋達定理體現了整體思想．

【鞏固練習】

1． A；  2．A；  3．；   4．；  5．   (1)當時，方程為，有實根；(2) 當時，也有實根．6．(1) ；  (2) ．

專題四  平面直角坐標系、一次函數、反比例函數參考答案

例1 解：(1)因為、關于x軸對稱，它們橫坐標相同，縱坐標互為相反數，所以，，則、．

(2)因為、關于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數，縱坐標相同，所以，，，則、．

(3)因為、關于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數，所以，，則、．

例2分析：因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b＝2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過第二象限，所以A點坐標為（－2，0），由A、B兩點坐標可求出此一次函數的表達式。

解：∵B是直線y＝kx＋2與y軸交點，∴B（0，2），∴OB＝2，

，過第二象限，

【鞏固練習】

1． B   2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．  3．（1）．（2）點的坐標是或．

專題五二次函數參考答案

例1 解：∵y＝－3x²－6x＋1＝－3(x＋1)²＋4，∴函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；

當x＝－1時，函數y取最大值y＝4；

當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；

采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．

說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．

例2  分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值．

解：由于y是x的一次函數，于是，設y＝kx＋（B），將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有  解得  k＝－1，b＝200．∴  y＝－x＋200．

設每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x²＋320x－24000＝－(x－160)²＋1600，

∴當x＝160時，z取最大值1600．

答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．

例3  分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論．

  解：（1）當a＝－2時，函數y＝x²的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；

    （2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝a時，函數取最小值y＝a²；

（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝0時，函數取最小值y＝0；

（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數取最大值y＝a²；當x＝0時，函數取最小值y＝0．

說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題．

例4（1）分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件――最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a．

解：∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數的解析式為，∵二次函數的圖像經過點（3，－1），∴，解得a＝－2．

∴二次函數的解析式為，即y＝－2x²＋8x－7．

 說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．

（2） 分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式．

解法一：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展開，得   y＝ax²＋2ax－3a， 頂點的縱坐標為 ，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數的表達式為y＝，或y＝－．

分析二：由于二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式．

解法二：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設二次函數為y＝a(x＋1)²＋2，或y＝a(x＋1)²－2，由于函數圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)²＋2，或0＝a(1＋1)²－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數為y＝－(x＋1)²＋2，或y＝(x＋1)²－2．

說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．

（3）解：設該二次函數為y＝ax²＋bx＋c(a≠0)．由函數圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

   解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數為y＝－2x²＋12x－8．

【鞏固練習】

1．（1）D   （2）C  （3）D     2．（1）y＝x²＋x－2    （2）y＝－x²＋2x＋3

3．（1）．（2）．

 （3）．（4）

4．當長為6m，寬為3m時，矩形的面積最大．

5．（1）函數f（x）的解析式為  

（2）函數y的圖像如圖所示

（3）由函數圖像可知，函數y的取值范圍是0＜y≤2．

專題六二次函數的最值問題參考答案

例1分析：由于函數和的自變量x的取值范圍是全體實數，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數有最大值或最小值．

解：（1）因為二次函數中的二次項系數2＞0，所以拋物線有最低點，即函數有最小值．因為=，所以當時，函數有最小值是．

（2）因為二次函數