設函數f（x）的定義域D關于原點對稱，0∈D，且存在常數a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

，
（1）寫出f（x）的一個函數解析式，并說明其符合題設條件；
（2）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常數T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）對于x∈D都成立，則都稱f（x）是周期函數，T為周期；試問f（x）是不是周期函數？若是，則求出它的一個周期T；若不是，則說明理由．

設向量

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1)（n∈N^*），函數y=

a

•

b

在[0，1]上的最大值與最小值的和為a_n，又數列{b_n}滿足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1．
（1）求a_n、b_n的表達式．
（2）C_n=-a_nb_n，問數列{c_n}中是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有C_n≤C_k成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數，且不恒為0，記g_n（x）=

f(x)

n

(n∈N*)．若對定義域內的每一個x，總有g_n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數”；若對定義域內的每一個x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數”（[gn(x)]′為函數g_n（x）的導函數）．
（1）若f（x）=

a

x3

-

1

x

-x（x＞0）既是“1階負函數”，又是“1階不減函數”，求實數a的取值范圍；
（2）對任給的“n階不減函數”f（x），如果存在常數c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“n階負函數”？并說明理由．