解法一（I）證明：
連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE.
∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
∴四邊形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中點，
又D是BC的中點，
∴DE∥A1C. ………………………… 3分
∵DE
平面AB1D，A1C
平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分
（II）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內作FG⊥AB1于點G，連接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分
設A1A
= AB = 1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，
，
在Rt△DFG中，
，
所以，二面角B―AB1―D的大小為
…………………………9分
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1內作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，
則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分
由△CDH∽△B1DB，得
即點C到平面AB1D的距離是
……………………………………14分
建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，
（I）證明： 連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE. 設A1A
= AB = 1， 則 
 …………………………3分
 ，
 ……………………………………4分
（II）解： ，  ， 設 是平面AB1D的法向量，則 ， 故 ； 同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分 設二面角B―AB1―D的大小為θ， ， ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為 ， 取其單位法向量 ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分 18．（本小題滿分14分）
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故 將 ，得 
① ………………………… 3分
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得  ，
即 …………………………………………………… 5分
（II）解：設 由①，得 因為 ，代入上式，得 ……………8分 于是，△OAB的面積 
 ………………11分 其中，上式取等號的條件是 ……………………12分 由 將 這兩組值分別代入①，均可解出 所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分 19．（本小題滿分14分）
（I）解：對函數 ……………………… 2分 要使 上是增函數，只要 上恒成立， 即 上恒成立 ……………………………………4分 因為 上單調遞減，所以上的最小值是 ， 注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
（II）解：①當 時，由（I）知，上是增函數， 此時上的最大值是 ……………………8分 ②當 ， 解得 ……………………………………………………10分 因為 ， 所以 上單調遞減， 此時上的最大值是 ………… 13分 綜上，當時，上的最大值是 ； 當 時，上的最大值是 ……………14分 20．（本小題滿分14分）
（I）解：顯然 ……………………………………1分 當 ……………………………………3分 所以，
 …………………………6分
（II）解： 
 ………………………………………………9分
  ………………12分 當 所以，M的最小值為 ………………………………14分
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12．
13．1（2分），
（3分）
（3分）
，
，………………………………………2分
……………………………………………………… 4分
，
…………………………… 6分
…………………………………………8分
，………10分
………………12分
，
………………………………………6分
……………………………………………………10分
……12分