(1)令.求函數的極值, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區間上的最大值為2；

當時，即時，在區間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

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已知函數f(x)=
(x2+ax+a)
ex
，（a為常數，e為自然對數的底）．
（1）令μ(x)=
1
ex
，a=0，求μ'（x）和f'（x）；
（2）若函數f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
[理]（3）在（2）的條件下，設由f（x）的極大值構成的函數為g（x），試判斷曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n為確定的常數）中的哪一條相切，并說明理由．

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已知函數f（x）=
1
3
x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b為實數）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）的極小值為1，若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）設a=
1
2
令g（x）=
f′(x+1)
x
-3，x∈（0，+∞），求證：gn（x）-xn-
1
xn
≥2n-2（n∈N+）．

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已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx（a，b∈R），令h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若1和2是函數h（x）的兩個極值點，求a，b的值；
（Ⅱ）當a=
12
，b≥2時，若對任意兩個不相等的實數x1，x2∈[1，2]，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的值．

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已知函數f(x)=cos
x
4
•cos(
π
2
-
x
4
)•cos(π-
x
2
)
（1）將函數f（x）的解析式化簡；
（2）若將函數f（x）在（0，+∞）的所有極值點從小到大排成一數列記為{an}，求數列{an}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若令bn=
1
an•an+1
，求數列{bn}前n項和Tn．

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三、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空題

13．2     14. 31    15.     16.  2.

三、解答題

17．17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的單調遞增區間為。

18．（Ⅰ）解：設“從甲盒內取出的2個球均為紅球”為事件，“從乙盒內取出的2個球均為紅球”為事件．由于事件相互獨立，且

，，

故取出的4個球均為紅球的概率是

．

（Ⅱ）解：設“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個紅球為黑球”為事件，“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為

．

19．（Ⅰ）取DC的中點E.

∵ABCD是邊長為的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解：（1）令得所求增區間為，。

（2）要使當時恒成立，只要當時 。

由（1）知

當時，是增函數，；

當時，是減函數，；

當時，是增函數，

由，因此故。

21. 證明：由是關于x的方程的兩根得

。

，

是等差數列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22． （1）∵

∴ 

令，∴或

若，

在點附近，當時，；當時，

∴是函數的極小值點，極小值為；

在點附近，當時，；當時，

∴是函數的極大值點，極大值為

若，易知，

是函數的極大值點，極大值為；

是函數的極小值點，極小值為

（2）若在上至少存在一點使得成立，

則在上至少存在一解，即在上至少存在一解

由（1）知，

當時，函數在區間上遞增，且極小值為

∴此時在上至少存在一解； 

當時，函數在區間上遞增，在上遞減，

∴要滿足條件應有函數的極大值，即

綜上，實數的取值范圍為或。

 

 


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