如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發現：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發現的結論；
（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG（如圖3）．請你選擇其中的一種方法證明小敏的發現的是正確的．

如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發現：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發現的結論；
（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG（如圖3）．請你選擇其中的一種方法證明小敏的發現的是正確的．

探究問題：
（1）閱讀理解：
①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離；
②如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此為托勒密定理；

（2）知識遷移：
①請你利用托勒密定理，解決如下問題：
如圖（C），已知點P為等邊△ABC外接圓的

BC

上任意一點．求證：PB+PC=PA；
②根據（2）①的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上任取一點P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+______；
第三步：請你根據（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費馬點P，并請指出線段______的長度即為△ABC的費馬距離．

（3）知識應用：
2010年4月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．
已知三村莊A、B、C構成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．