題目列表(包括答案和解析)
在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布
。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。
（Ⅰ）、試問此次參賽學生總數約為多少人？
（Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？
可共查閱的（部分）標準正態分布表
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 | 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 | 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 | 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 | 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 | 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 | 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 | 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 | 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 | 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 | 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 |
點評：本小題主要考查正態分布，對獨立事件的概念和標準正態分布的查閱，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力。
零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分
【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）=
=
.
（Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為
.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：
,
,
,
,
,
,
共有15種.
(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：
，
，共有6種.
所以P(B)=
.
（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=
，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
（本小題滿分12分）
有編號為
,
,…
的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數據：
其中直徑在區間[1.48，1.52]內的零件為一等品。
（Ⅰ）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；
（Ⅱ）從一等品零件中，隨機抽取2個.
（�。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y果；
（ⅱ）求這2個零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分
【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）=
=
.
（Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為
.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：
,
,
,
,
,
,
共有15種.
(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：
，
，共有6種.
所以P(B)=
.
（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=
，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
（本小題滿分12分）
有編號為
,
,…
的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數據：
其中直徑在區間[1.48，1.52]內的零件為一等品。
（Ⅰ）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；
（Ⅱ）從一等品零件中，隨機抽取2個.
（�。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y果；
（ⅱ）求這2個零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分
【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）=
=
.
（Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為
.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：
,
,
,
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共有15種.
(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：
，
，共有6種.
所以P(B)=
.
（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=
，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分
【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）=
=
.
（Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為
.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：
,
,
,
,
,
,
共有15種.
(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：
，
，共有6種.
所以P(B)=
.
（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=
，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
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